История философии - Энтони Грейлинг

Новая «символическая логика» — куда более мощный и масштабный инструмент, нежели традиционная силлогистика. Использование в ней символов пугает людей, не любящих всё, что отдает математикой, но даже небольшое внимание в самом начале показывает, что они отнюдь не страшны, а чрезвычайно полезны и вносят предельную ясность.

В стандартной системе обозначений этой логики строчные буквы из конца алфавита используются для обозначения суждений: p, q, r . . ., а для выражения отношений между ними введен небольшой набор символов: & для «и», ∨ для «или», → для «если. . . то. . .» и ¬ для «не», вот так:

p & q (читается как «p и q»)

p ∨ q (читается как «p или q»)

¬p (читается как «не p»)

Операторы «&» и остальные можно очень просто и наглядно определить с помощью «таблиц истинности» следующим образом (где «И» означает «истинно», а «Л» — «ложно»):

p

q

p & q

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л

В столбцах «p» и «q» перечислены возможные комбинации истинности и ложности: в первой строке оба суждения истинны, во второй «p» истинно, а «q» ложно и так далее. В третьем столбце приведен результат для «p & q». Буква «И» (истинно) появляется только в той строке, где и «p», и «q» истинны сами по себе; во всех остальных случаях, когда либо «p», либо «q» ложно, либо ложны оба, высказывание «p & q» является ложным. Это дает наглядное представление о значении логического оператора «&» («и»): суждения с оператором «&» истинны только тогда, когда истинны оба соединяемых им суждения.

Для «∨» («или») дело обстоит следующим образом:

p

q

p ∨ q

И

И

И

И

Л

И

Л

И

И

Л

Л

Л

Это показывает, что «p ∨ q» истинно, если хотя бы одно из суждений — «p» или «q» — истинно по отдельности, и ложно только тогда, когда ложны оба. Так определяется значение «∨» в логическом исчислении.

С помощью этих простых элементов и интуитивного использования скобок для ясности можно проверять формы рассуждений на предмет их правильности или неправильности. Например, из посылок «p → q» и «p» всегда можно вывести «q», какие бы значения истинности ни приписывались «p» и «q» по отдельности. Запишем это рассуждение так:

[(p → q) & p] → q

и мы можем показать, что это логическая истина, составив таблицу истинности следующим образом:

p

q

p → q

(p → q) & p

[(p → q) & p] → q

И

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

И

И

Л

И

Л

Л

И

Л

И

Тот факт, что буква «И» стоит во всех четырех строках под главной стрелкой в последнем столбце, показывает, что вся строка «[(p → q) & p] → q» принимает значение И независимо от того, каковы индивидуальные значения И и Л у ее компонентов. Это «логическая истина», или тавтология; отсюда следует, что любое рассуждение следующей формы:

Посылка 1: p → q

Посылка 2: p

Вывод: q

является правильным. Такая форма рассуждения называется modus ponens.

С помощью таблиц истинности можно проверить на правильность следующее:

Посылка 1: p → q

Посылка 2: q

Вывод: p

и

Посылка 1: p → q

Посылка 2: ¬q

Вывод: ¬p

Вы обнаружите, что первое является ошибкой, называемой «ошибкой подтверждения консеквента» (в выражении «p → q» элемент «p» является «антецедентом», а «q» — «консеквентом», который здесь «подтверждается» путем его использования в качестве второй посылки), поскольку в одной из строк под стрелкой в формуле «[(p → q) & q] → p» стоит «Л», вот так:

p

q

p → q

(p → q) & q

[(p → q) & q] → p

T

T

T

T

T

T

F

F

F

T

F

T

T

T

F

F

F

T

F

T

В случаях, когда «Л» появляется в каждой строке под итоговым оператором, перед нами не просто логически некорректное рассуждение, а логическое противоречие.

Однако второй пример представляет собой логически корректную форму умозаключения, как показывает его таблица истинности; она известна как modus tollens.

Это основы «исчисления высказываний», которое имеет дело с аргументами, состоящими из целых высказываний. Но настоящая работа начинается тогда, когда к этому исчислению добавляют несколько мощных инструментов, превращая его в «исчисление предикатов» за счет проникновения внутрь самих высказываний. Это важно, поскольку высказывания утверждают, что все, многие, немногие, некоторые или по крайней мере один предмет определенного рода обладает определенным свойством; и мы хотим понять логическую корректность на уровне этой более тонкой структуры, используя кванторные выражения (выражающие «количество»).

Для этой цели строчные буквы из конца алфавита x, y, z используются для обозначения отдельных предметов, а символы кванторов (x) и (∃x) — для обозначения соответственно «всех предметов x» и «по крайней мере одного предмета x» (последний заменяет в логике все остальные кванторные выражения, отличные от «все», например «некоторые», «многие», «большинство», «немногие», «три», «четыре», «миллион» и так далее). Прописные буквы из начала алфавита F, G, H обозначают предикатные выражения, такие как «... является коричневым» и «... принадлежит Королеве». Таким образом, предложение «лошадь коричневая» будет символически записано как (∃x)(Fx&Gx), что читается как «существует такой x, что x есть F и x есть G», где в данном случае это означает «существует такой x, что x — это лошадь и x коричневый».

Вооружившись дополнительными правилами, позволяющими «конкретизировать» общие выражения вида (x)Fx для получения единичных выражений вида Fa (где строчные буквы из начала алфавита обозначают конкретных индивидов), мы можем проверять аргументы на корректность так же, как и раньше. Таким образом, modus ponens, представленный выше как [(p → q) & p] → q, в кванторной форме может выглядеть следующим образом:

(x){[(Fx → Gx) & Fx] → Gx}

Правила конкретизации позволяют нам переписать это как:

[(Fa → Ga) & Fa] → Ga

в чем нетрудно усмотреть частный случай modus ponens.

Обсуждение индуктивной логики часто ведется в связи с дискуссиями о методологии науки по той очевидной причине, что научное исследование касается случайных фактов, а процесс формулирования гипотезы или предсказания и их последующей эмпирической проверки никогда не может обладать той степенью достоверности, которая ожидается от дедуктивной логики, — за исключением, пожалуй, тех случаев, когда гипотеза определенно оказывается ошибочной.

Самое интересное в индуктивном рассуждении заключается