Завтрак с Эйнштейном. Экзотическая физика повседневных предметов - Чад Орцель

Разделенный электрон прикреплен к обеим ядрам, так что мы ожидаем, что срез через вероятность распределения вдоль оси между атомами должен показывать два пика, увеличивая шансы обнаружения электрона около каждого ядра. Однако, есть два различных способа создать волновую функцию, которая ведет к такому распределению вероятности: один способ, когда волновая функция положительна для обоих пиков, и другой – когда волновая функция изменяется от положительной к отрицательной, и вы движетесь от одного атома к другому[178].

Волновая функция для двух различных состояний электрона, разделенных между двумя атомами.

Когда мы размышляем о свойствах симметрии в этих волновых функциях, нам нужно принимать во внимание, что происходит, когда мы меняем условные ярлыки «лево» и «право». Если отразить волновую функцию в зеркале, мы увидим, что состояние с тем же знаком будет симметричным: оба пика волновой функции имеют одинаковый знак, поэтому если вы поменяете «лево» и «право», ничего не изменится. Обмен левого на правое изменяет то, какой пик будет положительным, а какой отрицательным, это то же самое, что и смена знака волновой функции.

В то время как различия между ними кажутся не слишком значимыми, энергия антисимметричного состояния слегка выше. Чтобы понять, почему нам нужно повнимательнее посмотреть на вероятность (показано ниже) обнаружения электрона в точке нахождения молекулы, которую мы получили, возводя в квадрат волновую функцию, потому что отрицательных вероятностей не существует.

Распределение вероятности для двух волновых функций из предыдущей иллюстрации; вставка сфокусирована на средней точке между двумя атомами.

Они выглядят практически идентичными, кроме небольшой зоны посередине между двумя атомами. Состояние с одинаковыми знаками (симметричное) дает электрону некоторый шанс нахождения точно на полпути между ними, в то время как состояния с различными знаками (антисимметричные) имеют точно нулевую вероятность нахождения электрона между двумя пиками (поскольку, чтобы пройти от положительного до отрицательного, вы должны пройти через ноль).

Электрон в антисимметричном состоянии исключается из небольшой области пространства, которое электрон в симметричном состоянии волен занимать. Это исключение сужает диапазон положений, когда электрон может быть обнаружен. Как мы видели, обсуждая принцип неопределенности, это необходимым образом увеличивает кинетическую энергию частицы.

Приведенная выше иллюстрация рассматривает волновые функции одного электрона, в то время как принцип запрета Паули применим к системам с множеством электронов во многих состояниях и рассматривает спин электрона одновременно с его пространственным распределением (мы рассмотрим это более внимательно в главе 9). Проблема множества электронов гораздо более сложная, чем простое состояние с одним электроном, но наши выводы распространяются и здесь: антисимметричные волновые функции обладают в целом слегка большей энергией, чем симметричные, и принцип запрета Паули говорит нам, что волновая функция для набора электронов должна быть антисимметричной. Это означает, что электроны будут обнаруживаться в волновой функции с большей энергией, поэтому полная кинетическая энергия набора электронов, разделенных между двумя атомами, возрастает быстрее, по мере того как вы добавляете все больше электронов в небольшое пространство, чем если бы они не подчинялись запрету Паули.

Вы можете, приложив некоторые математические усилия, использовать ту же аргументацию для большего количества ядер и большего количества электронов и получить тот же результат. Набор частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули, всегда будет иметь более высокую общую энергию, чем идентичное количество частиц, занимающих симметричную волновую функцию[179]. В самом деле, это увеличение энергии считается самым важным для предотвращения коллапса. Как добавление еще одной планеты может разрушить стабильность Солнечной системы, добавление дополнительных частиц может разрушить стабильность одного атома. Без дополнительной кинетической энергии, возникающей из необходимости находиться в асимметричных состояниях, большое количество ядер и электронов могли бы снижать свою энергию до больших отрицательных величин за счет более плотной упаковки, и твердая материя была бы по сути своей нестабильной.

Математические вычисления, лежащие в основе этого, очень сложны, и никто не мог обоснованно показать, что энергия набора частиц материи имеет хоть сколько-нибудь более низкую границу до тех пор, пока Фримен Дайсон и Филипп Ленард не сумели это сделать в 1967 году, где-то через сорок лет после введения принципа запрета Паули. Работа Дайсона и Ленарда все же оставила некоторое неприятное количество места для схлопывания: вычисленный ими нижний предел все еще позволял материи существенно сжиматься и высвобождать огромную энергию, делая каждый твердый предмет потенциальной атомной бомбой. В последующие годы Эллиотт Либ[180]и Вальтер Тирринг[181] существенно улучшили вычисления Дайсона, и у нас есть твердое доказательство, что твердая материя действительно стабильна, как мы ее и ощущаем.

Применение к астрофизике

Как послесловие к дискуссии по стабильности материи будет интересным заметить, что, когда умирает звезда, ее остатки также удерживаются за счет принципа запрета Паули.

Когда звезды начинают свои жизни с невероятного количества водорода, этот запас топлива, тем не менее, конечен и рано или поздно исчерпывается. Когда это случается (это может происходить множеством способов, причем некоторые из них более зрелищны, чем другие), ядро, которое остается после этого, не может больше генерировать энергию за счет слияния ядер. Поскольку тепло, высвобожденное в процессе слияния, есть то, что удерживает активную звезду против силы притяжения, стремящейся сколлапсировать ее, ядро звезды начинает схлопываться внутрь самого себя, и электромагнитное отталкивание между частицами будет повышать температуру. Однако с 1930-х годов физики знали, что в отсутствие слияния это увеличение не может происходить достаточно быстро, чтобы остановить коллапс. Тогда возникает вопрос: что происходит с ядром звезды?

Для небольших коллапсирующих ядер – чуть превышают размер нашего Солнца – принцип запрета Паули становится спасительным. Электроны и ядра атомов в ядре звезды притягиваются друг к другу силой гравитации и упаковываются все плотнее и плотнее до того момента, когда начинает играть роль их квантовая природа, и расстояние между атомами становится сравнимым с шириной их волновых функций.

Как и в случае с твердой материей, они подвержены принципу запрета Паули, это ведет к более быстрому росту кинетической энергии, чем можно получить от частиц без требований этого запрета. Это «давление вырожденного электронного газа» становится достаточным для того, чтобы противостоять тяге гравитации, и ядро звезды становится белым карликом, шаром примерно размером с Землю и невероятно плотной материей, которая удерживается с помощью квантовой механики. Один кубический сантиметр материи из белого карлика будет весить несколько сотен тонн, по сравнению