Завтрак с Эйнштейном. Экзотическая физика повседневных предметов - Чад Орцель

Это идея об «энергии нулевой точки», или «нулевой энергии», которая говорит нам, что отдельная квантовая частица никогда не находится в покое. Это следует напрямую из волновой природы квантовых частиц. Как выяснится далее, это имеет глубокие последствии для стабильности материи.

Чтобы чуть глубже понять волновую природу и нулевую энергию, полезно вернуться к самой простой системе в квантовой физике: отдельной частице, заключенной в коробку[165]. Основная идея здесь та же, как и в модели «что-то в коробке», какую мы использовали для решения проблемы с излучением черного тела, но в том случае мы рассматривали световые волны. Теперь, вооруженные идеей де Бройля о волновой материи, мы хотим рассмотреть материальную частицу, такую как электрон, в коробке. Наша гипотетическая «коробка» непроницаема, так что электрон может двигаться внутри свободно, но никогда не может выйти наружу.

Хотя такой сценарий, на первый взгляд, отличается с точки зрения повседневной интуиции, но с точки зрения математики разница между лучом света, заключенным в коробку с отражающими стенками, и электроном с волновой природой, содержащимся в непроницаемой коробке, не слишком велика. В обоих случаях конечным результатом будет появление ограниченного набора мод стоячих волн, причем волны будут вынужденно иметь нулевую амплитуду у концов коробки и укладываться в целое число половин длин волн по длине коробки.

Точно так же, как и в случае со световыми волнами, наиболее длинная возможная волна от электрона внутри коробки будет иметь длину в два раза больше длины самой коробки.

Если применить рассуждения к световым волнам, эти ограничения не кажутся проблематичными, но если иметь дело с электроном, то возникнет весьма необычный момент, а именно, электрон никогда не сможет оставаться в покое внутри коробки. Как показал де Бройль, длина волны электрона связана с его моментом импульса, более высокий момент означает более короткую длину волны. Момент импульса вычисляется умножением массы на скорость[166], и поскольку масса электрона фиксирована, момент импульса электрона является отражением его скорости. Покоящийся электрон будет иметь нулевой момент импульса, что потребует бесконечно большую длину волны, но ограниченный стенками коробки электрон имеет максимальную длину волны – две длины коробки – и это означает, что его минимальный момент импульса не нулевой. Таким образом, электрон в ограниченном пространстве всегда должен двигаться.

В физике скорость – это величина, которая включает как значение самой величины (собственно скорость) и направление, и, как результат этого, момент также определяется в терминах направления. Поскольку электрон в коробке может двигаться в любом направлении, это делает достаточно сложным рассуждения о частицах, ограниченных в пространстве, в терминах момента. Чтобы избежать проблем с направлением, легче рассуждать об ограниченном электроне в терминах кинетической энергии, которая не зависит от того, куда направляется частица, а зависит лишь от того, насколько быстро она движется. Моды стоячей волны для электрона, пойманного в коробку, являются состояниями с хорошо определенной кинетической энергией, причем энергия увеличивается пропорционально квадрату количества половин длин волн в коробке, то есть мода второго состояния (вторая мода) имеет в четыре раза больше энергии, чем первая, третья в девять раз больше, чем первая, и так далее.

Самой главной характеристикой здесь считается, что минимальная энергия не равна нулю. Это кажется странным, если говорить с позиции классической физики: если я помещу обычный макроскопический объект, наподобие стеклянного шарика, внутрь коробки для обуви, я прекрасно могу так расположить ее, чтобы предмет внутри не двигался относительно коробки и, таким образом, обладал нулевой кинетической энергией. Квантовая же частица никогда не может оставаться в полном покое из-за ее волновой природы. Эта минимальная энергия, или нулевая энергия, – к сожалению, богатый источник материала для всяких проходимцев. Люди со слабыми познаниями в квантовой терминологии и при этом не очень щепетильные часто используют схемы со «свободной энергией», основанные на идее извлечения нулевой энергии, из пустого пространства. Как обычно, при этом звучат нереальные обещания, чтобы быть правдой, поскольку это невозможно: нулевая энергия – это неизбежное следствие волновой природы материи и никогда не может быть извлечена.

Минимальная энергия электрона определяется размером коробки и зависит от обратного квадрата ее длины, то есть если вы увеличите вдвое длину коробки, минимальная энергия этой большей коробки будет равна одной четвертой от энергии маленькой коробки. Чем больше вы ограничиваете частицу в пространстве, тем короче получаются максимально возможные длины волн и тем выше будет ее энергия. Это увеличние энергии – один из важных моментов для понимания стабильности материи.

Принцип неопределенности

Волновая природа материи, таким образом, является причиной того, что ограниченная в пространстве частица имеет некоторую минимальную энергию, однако, не слишком очевидно, как это связано с принципом неопределенности. Почему волновая природа материи делает невозможным знание одновременно и положения, и момента импульса отдельной частицы в определенный момент времени?

Ключевая идея прячется несколькими параграфами ранее, когда мы переключились на разговор об энергии состояний. Состояния стоячих волн ограниченного в пространстве электрона считаются состояниями с определенной энергией, но неопределенным моментом импульса, поскольку, как уже упоминалось, момент включает не только скорость движения частицы, но и направление. Наиболее простой вариант нашей «частицы в коробке» будет гипотетическая одномерная «коробка» – нечто вроде струны, где электрон может двигаться лишь в двух направлениях. Электрон, ограниченный одномерной коробкой, с равной вероятностью будет двигаться вправо или влево, что и дает неопределенность моменту импульса. Для одномерной системы мы будем обозначать направление движения знаком частицы, так чтобы движущаяся налево частица имела отрицательный момент, а движущаяся направо – положительный. Возможен диапазон значений, момент, таким образом, будет равен удвоенному моменту, связанному с базовой волной электрона. Мы можем выразить это как средний момент с некоторой неопределенностью: например, если момент импульса может быть либо 5, либо – 5 единиц, диапазон значений момента будет равен 10 единицам, и мы скажем, что средний момент равен 0, плюс или минус 5 единиц.

В более ограниченном пространстве частицы должны иметь длины волн короче, и, таким образом, больший момент и энергию, так что мы можем уменьшить момент и, в свою очередь, неопределенность момента, увеличив размер коробки. Но когда мы это сделаем, то вынужденно увеличим неопределенность положения частицы, равная около половины размера коробки, поскольку в среднем частица будет в середине, и может находиться в пределах половины длины коробки в обе стороны[167]. Результатом этих двух неопределенностей будет постоянная: если мы удвоим длину коробки, то удвоим неопределенность положения, но уменьшим вдвое неопределенность момента, таким образом, неопределенность положения, умноженное на неопределенность момента, останется неизменной.

Итак, одновременно и положение,