Квантовые вычисления со времен Демокрита - Скотт Ааронсон

квантовая механика? Несмотря на то что открыта она была физиками, это не есть физическая теория в том смысле, в каком являются физическими теориями электромагнетизм или общая теория относительности. В обычной «иерархии наук», где на самом верху располагается биология, затем химия, затем физика и, наконец, математика, квантовая механика занимает уровень между математикой и физикой, для которого я не знаю хорошего названия. По существу, квантовая механика — это операционная система, в которой остальные физические теории работают как прикладные программы (за исключением общей теории относительности, которую до сих пор не удалось успешно подключить к данной конкретной ОС). Есть даже специальное слово, которое употребляют, когда берут физическую теорию и подключают к этой ОС: «квантование».

Но если квантовая механика — это не физика в обычном смысле, если она не занимается ни веществом, ни энергией, ни волнами, ни частицами, то чем же она занимается? С моей точки зрения, она занимается информацией, вероятностями, наблюдаемыми величинами и тем, как они соотносятся друг с другом.

В этой главе я хочу заявить следующую позицию. Квантовая механика — это то, к чему вы неизбежно придете, если начнете с теории вероятностей, а затем попытаетесь обобщить ее таким образом, чтобы числа, которые мы привыкли называть «вероятностями», могли принимать отрицательные значения. Если рассматривать квантовую механику в таком ключе, то можно сказать, что эту теорию могли придумать математики в XIX веке вообще без каких бы то ни было экспериментальных данных. Не придумали, но могли придумать.

Несмотря на все разнообразие изучаемых математиками структур, никто из них не предложил квантовой механики до тех пор, пока данные экспериментов буквально не вынудили их это сделать. И это идеальная иллюстрация на тему того, почему так важны эксперименты! Чаще всего единственная причина, по которой нам нужны эксперименты, состоит в том, что мы недостаточно умны. После того, как эксперимент проведен, если мы при этом узнали хоть что-то стоящее, мы можем надеяться узнать, почему этот эксперимент, вообще говоря, не был нужен — почему мир может быть только таким, какой он есть, и никаким другим. Но мы слишком тупы, чтобы разобраться в этом самостоятельно!

Можно привести еще два идеальных примера «очевидных задним числом» теорий: это теория эволюции и специальная теория относительности. Признаюсь, я не могу сказать наверняка, могли ли древние греки, облачившись в тоги и усевшись кружком, доказать истинность этих теорий. Но они точно — абсолютно точно! — были в состоянии решить, что они могут быть верны, потому что эти мощные принципы наверняка входили в инструментарий Бога, когда он определял лицо будущего мира.

В этой главе я попытаюсь убедить вас — без всяких ссылок на эксперименты — в том, что квантовая механика тоже должна была присутствовать в том божественном инструментарии. Я покажу вам, почему, если вы хотите получить вселенную с определенными очень общими свойствами, вам, судя по всему, придется выбирать одно из трех: либо (1) детерминизм, либо (2) классические вероятности, либо (3) квантовую механику. И даже если от «таинственности» квантовой механики вам никогда не удастся окончательно избавиться, вы, наверно, удивитесь, насколько далеко можно было зайти, не покидая удобного кресла! Тот факт, что никто не продвинулся сколько-нибудь далеко до тех пор, пока атомные спектры и тому подобные штуки не навязали физикам эту теорию буквально силой, является, на мой взгляд, одним из сильнейших аргументов в пользу того, что эксперименты необходимы.

Вероятность меньше 0 %?

Ну хорошо, попробуем разобраться, что все-таки значит иметь «теорию вероятностей» с отрицательными числами? Ну, вообще-то есть серьезная причина тому, что в прогнозе погоды вы никогда не услышите о вероятности завтрашнего дождя, равной –20 %, — в этом и правда смысла так же мало, как кажется. Но я бы хотел, чтобы вы отбросили всякие сомнения и просто подумали абстрактно о событии с N возможными исходами. Мы можем выразить вероятности этих исходов вектором из N действительных чисел:

( p 1, …, pN ).

Математически что мы можем сказать об этом векторе? Ну, лучше все-таки, чтобы вероятности были неотрицательными, а их сумма составляла единицу. Мы можем выразить последний факт, сказав, что первая норма вектора вероятностей должна равняться единице. (Первая норма — это просто сумма абсолютных значений элементов, иногда ее еще называют манхэттенской нормой или расстоянием городских кварталов.)

Но манхэттенская норма — не единственная норма на свете; это не единственный известный нам способ определить «размер» вектора. Существуют и другие способы, и одним из любимых у математиков со времен Пифагора была вторая, или евклидова норма. С формальной точки зрения евклидова норма представляет собой квадратный корень из суммы квадратов элементов. Неформально же она означает, что когда вы опаздываете на занятия, то вместо того чтобы идти по двум взаимно перпендикулярным дорожкам, вы срезаете путь через газон.

Итак, что произойдет, если вы попытаетесь предложить какую-нибудь теорию, похожую на теорию вероятностей, но основанную на второй норме, а не на первой? Я попытаюсь убедить вас, что неизбежный результат подобных занятий — квантовая механика.

Рассмотрим единственный бит. В теории вероятностей мы можем описать этот бит так: вероятность того, что он равняется 0, равна p, а вероятность того, что он равняется 1, равна 1 — p. Но если перейти от первой нормы ко второй, то нам уже не потребуются два числа, в сумме дающие 1; нам потребуются два числа, квадраты которых в сумме дают единицу. (Я считаю, что мы по-прежнему говорим о действительных числах.) Иными словами, мы теперь хотим вектор (α, β), где α² + β² = 1. Разумеется, множество всех таких векторов образует окружность.