Квантовые вычисления со времен Демокрита - Скотт Ааронсон

= 1.

Затем нам потребуется некоторый «симпатичный» комплект линейных преобразований, превращающих любой единичный вектор в p-норме в другой единичный вектор в p-норме.

Ясно, что для любого p, которое мы выберем, найдутся какие-то линейные преобразования, сохраняющие p-норму. Какие именно? Ну, мы можем переставлять основные элементы местами, тасовать их; p-норма при этом сохранится. И знак минус мы тоже можем вставить, если захотим; p-норма при этом сохранится тоже. Но вот небольшое наблюдение: если существуют какие бы то ни было линейные преобразования, помимо этих, тривиальных, при которых сохраняется p-норма, то p должно быть равно либо 1, либо 2. Если p = 1, мы получаем классическую теорию вероятностей, а если p = 2, то квантовую механику. Так что если вы хотите, чтобы не было скучно, вам придется задать p = 1 или p = 2.

Упражнение 5 для неленивого читателя. Докажите мое небольшое наблюдение.

Ну хорошо, для начала позвольте мне привести кое-какие интуитивные данные о том, почему это наблюдение могло бы быть верным. Примем для простоты, что все числа действительны и что p — положительное четное целое число (хотя наблюдение также работает с комплексными числами и с любым действительным p ≥ 0). Далее, для линейного преобразования A = (aij) сохранять p-норму означает, что

всегда, когда

Теперь мы можем спросить: сколько ограничений накладывается на матрицу A требованием того, чтобы это выполнялось для любых v1, …, vN? Если разобраться, то окажется, что в случае p = 2 существует

ограничений. Но поскольку мы пытаемся взять матрицу N × N, то у нас все же остается N(N — 1)/2 степеней свободы.

С другой стороны, если, скажем, p = 4, то число ограничений растет как

что больше, чем N² (число переменных в матрице). Это позволяет предположить, что найти нетривиальное линейное преобразование, которое сохраняло бы 4-норму, будет трудно. Разумеется, это не доказывает, что такого преобразования не существует, — часть доказательств это я оставляю вам.

Кстати говоря, это не единственный случай, в котором мы обнаруживаем, что 1-норма и 2-норма отличаются от остальных p-норм и представляют собой особый случай. Случалось вам, к примеру, встречать такое уравнение?

xn+yn=zn.

Имеется примечательный фактик, — к несчастью, у меня нет времени, чтобы доказать его в этой книге, — согласно которому приведенное уравнение имеет нетривиальные целые решения при n = 1 или n = 2, но не имеет их при любых целых n бóльших 2. В общем, ясно, что если мы используем первую и вторую нормы чаще остальных векторных норм, то это не блажь — Господь действительно любит их больше других! (И нам даже не нужен эксперимент, чтобы в этом убедиться.)

Действительные и комплексные числа

Даже после того, как мы решили строить свою теорию на второй норме, у нас по-прежнему остается по крайней мере два варианта: мы можем сделать свои амплитуды действительными числами, а можем — комплексными. Нам известно, какой выбор сделала Природа: амплитуды в квантовой механике являются комплексными числами. Это означает, что вы не можете просто возвести амплитуду в квадрат, чтобы получить вероятность; сначала вы должны взять ее абсолютное значение, и его уже возводить в квадрат. Так почему же?

Много лет назад в Беркли я довольно тесно общался со старшекурсниками-математиками — что называется, попал в дурную компанию — и как-то раз задал им этот самый вопрос. Математики только фыркнули: «Как будто сам не понимаешь — комплексные числа алгебраически замкнуты!»[56] Для них это было очевидно.

Но мне все это по-прежнему кажется немного странным. Я имею в виду, что несколько столетий комплексные числа рассматривались как какие-то непонятные штуки, придуманные человеком только для того, чтобы каждое квадратное уравнение имело решение. (Именно поэтому мы говорим об их «мнимых» частях.) Так почему же Природа на самом что ни на есть фундаментальном своем уровне работает на каких-то вещах, придуманных нами для нашего же удобства?

Ну хорошо, допустим, мы потребовали, чтобы для любого линейного преобразования U, которому мы можем подвергнуть состояние, существовало другое преобразование V, такое, что V² = U. По существу, это требование непрерывности: мы говорим, что если можно применить некую операцию в течение одной секунды, то должно быть можно применить эту же самую операцию к интервалу в полсекунды.

Можно ли добиться этого с исключительно действительными амплитудами? Рассмотрим следующее линейное преобразование:

Это преобразование — всего лишь зеркальное отражение плоскости. Оно берет двумерное существо Флатландии и переворачивает его, как блин, перемещая сердце на другую сторону его двумерного тела. Но как реализовать половину зеркального отражения, не покидая плоскости? Невозможно! И если вы хотите перевернуть блин непрерывным движением, вам нужно выйти в… дум-дум-дум… ТРЕТЬЕ ИЗМЕРЕНИЕ.

В более общем случае, если вы хотите перевернуть N-мерный объект непрерывным движением, вам необходимо выйти в (N + 1) — е измерение.

Упражнение 6 для неленивого читателя. Докажите, что любое сохраняющее норму линейное преобразование в N измерениях может быть реализовано непрерывным движением в N + 1 измерениях.

Но что, если вы хотите, чтобы любое линейное преобразование имело квадратный корень в том же самом числе измерений? В этом случае вам придется разрешить комплексные числа. Это один из аргументов, согласно которым вам на таком фундаментальном уровне физики могут потребоваться комплексные числа.

Ну хорошо, я могу привести еще две причины, по которым амплитуды должны быть комплексными.

Чтобы установить первую из них, зададимся вопросом: сколько в N-мерном смешанном состоянии существует независимых действительных параметров? Оказывается, ровно N², если мы будем считать, для удобства, что состояние не обязано быть нормализованным (то есть что вероятности в сумме могут давать величину меньше единицы). Почему? Ну, N-мерное смешанное состояние математически представляется эрмитовой[57] матрицей N × N с положительными собственными числами. Поскольку мы не нормализуем состояния, на главной диагонали у нас стоит N независимых действительных чисел. Ниже главной диагонали у нас стоит N(N — 1)/2 независимых комплексных чисел, что соответствует N(N — 1) действительных чисел. Поскольку матрица эрмитова, комплексные числа под главной диагональю определяют числа над главной диагональю. Так что полное число независимых