Квантовые вычисления со времен Демокрита - Скотт Ааронсон

Теперь следует обратить внимание на один аспект квантовой механики, который я до сих пор не упоминал. Если нам известны состояния двух квантовых систем по отдельности, как записать их связанное состояние? Ну, мы просто формируем их так называемое тензорное произведение. Так, к примеру, тензорное произведение двух кубитов, α|0〉 + β|1〉 и γ|0〉 + δ|1〉, задается выражением

(α|0〉 + β|1〉) ⊗ (γ|0〉 + δ|1〉) = αγ |00〉 + αδ |01〉 + βγ |10〉 + βδ |11〉.

Здесь я использовал обозначение |00〉 как сокращенный вариант записи |0〉 ⊗ |0〉, |01〉 означает |0〉 ⊗ |1〉 и т. п. (Иногда я использую также обозначения |0〉|0〉 и |0〉|1〉. Смысл тот же: один кубит в первом состоянии «тензорно умножается» на другой кубит во втором состоянии, а для простоты можно сказать: соседствует с ним.) Важный момент о тензорном произведении: оно не подчиняется перестановочному закону: состояние |0〉 ⊗ |1〉 отличается о состояния |1〉 ⊗ |0〉! Это потому, что первое соответствует двоичной строке 01 (первый бит равен нулю, второй единице), тогда как второе соответствует двоичной строке 10 (первый бит равен единице, второй нулю).

Опять же можно спросить: действительно ли нам необходимо было использовать тензорное произведение? Может быть, Бог мог бы выбрать какой-то другой способ объединения квантовых состояний в более крупные? Ну, собственно говоря, другие способы объединения квантовых систем существуют (самые известные из них — так называемые симметричное и антисимметричное произведение) и реально используются в физике для описания поведения идентичных бозонов и идентичных фермионов соответственно. Впрочем, для меня сказать, что мы берем тензорное произведение, означает почти точно то же самое, что сказать, что мы соединяем две системы, способные существовать независимо (на что, я бы отметил, идентичные бозоны и идентичные фермионы не способны).

Как вы, вероятно, знаете, существуют двухкубитные состояния, которые невозможно записать как тензорное произведение однокубитных состояний. Самый известный пример — это ЭПР-пара (от названия парадокса Эйнштейна — Подольского — Розена):

Пусть задано смешанное состояние ρ двух подсистем A и B. Если ρ может быть записано как распределение вероятностей на тензорном произведении состояний |ψA〉 ⊗ |ψB〉, то мы говорим, что состояние ρ разделимо. В противном случае мы говорим, что ρ запутанно, или сцеплено.

А теперь вернемся к вопросу о том, сколько действительных параметров нужно для описания смешанного состояния. Предположим, у нас имеется (скорее всего запутанная) составная система AB. Тогда интуитивно представляется, что число параметров, нужных для описания AB — я буду называть это число dAB — должно равняться произведению числа параметров, нужных для описания A, и числа параметров, нужных для описания B:

d AB = d A d B.

Если амплитуды являются комплексными числами, то это предположение — вот удача! — верно. Обозначив NA и NB число измерений A и B соответственно, мы имеем

Но что, если амплитуды — действительные числа? В этом случае в матрице плотности N × N мы бы имели только N(N + 1)/2 независимых действительных параметров. И это не тот случай, когда при N = NANB имеем

Можно ли при помощи этого же аргумента исключить и кватернионы? Да, можно! Если с действительными числами левая сторона слишком велика, то с кватернионами она слишком мала. Только с комплексными числами она имеет в то-о-о-о-очности нужный размер!

На самом деле существует еще одно явление с тем же оттенком «точного попадания», на которое обратил внимание Билл Вуттерс, — и это приводит нас к третьей причине, по которой амплитуды должны быть комплексными числами. Предположим, мы выбрали некое квантовое состояние

равномерно и случайно (если вы математик, то по мере Хаара). А затем мы измеряем его, получая исход |i〉 с вероятностью |αi|². Вопрос в том, будет ли результирующий вектор вероятности также распределяться равномерно случайно в симплексе вероятности? Оказывается, если амплитуды представляют собой комплексные числа, то ответ — «да». Но если амплитуды представляют собой действительные числа или кватернионы, то ответ — «нет»!

Линейность

Мы поговорили о том, почему амплитуды должны быть представлены комплексными числами и почему правило превращения амплитуд в вероятности должно быть правилом возведения в квадрат. Но все это время где-то рядом незамеченным бродил огромный слон линейности. Почему одни квантовые состояния должны переводиться в другие квантовые состояния посредством линейных преобразований? Возможна догадка о том, что если бы преобразования не были линейными, то векторы можно было бы сжимать или растягивать, делая больше или меньше. Близко! Стивен Вайнберг[58] и другие предложили нелинейные варианты квантовой механики, в которых векторы состояния действительно сохраняют свой размер. Проблема с этими вариантами в том, что они готовы разрешить вам взять далекие векторы и смять их в один комок или взять чрезвычайно близкие векторы и разделить их! Собственно, именно это и имеется в виду, когда говорят, что такие теории нелинейны, и наше пространство конфигураций утрачивает свое интуитивное значение, состоящее в измерении различимости векторов. Два экспоненциально близких состояния в