Квантовые вычисления со времен Демокрита - Скотт Ааронсон

class="empty-line"/>

Теорию, которую мы сейчас изобретаем, нужно будет каким-то образом согласовать с наблюдениями. Предположим, у нас есть некий бит, описываемый вектором (α, β). Далее, нам потребуется указать, что происходит, если мы смотрим на этот бит. Ну, поскольку это все-таки бит, то увидеть мы должны либо 0, либо 1! Более того, вероятность увидеть 0 и вероятность увидеть 1 в сумме просто обязаны давать единицу. Итак, если начать с вектора (α, β), то как мы можем получить два числа, которые в сумме дадут единицу? Просто: мы можем сказать, что α² — это вероятность результата 0, а β² — вероятность результата 1.

Но в таком случае почему нам не забыть вообще об α и β и не описать наш бит непосредственно через вероятности? Фигушки. Разница в том, как изменяется наш вектор, когда мы применяем к нему какую-нибудь операцию. В обычной теории вероятностей, если у нас есть бит, представленный вектором (p, 1 — p), то мы можем представить любую операцию с этим битом стохастической матрицей, то есть матрицей неотрицательных действительных чисел, где каждый столбец в сумме дает единицу. Так, к примеру, операция побитового инвертирования, которая изменяет вероятность результата 1 с p на 1 — p, может быть представлена следующим образом:

На самом деле стохастическая матрица — это самый общий тип матрицы, которая всегда преобразует один вектор вероятности в другой.

Упражнение 1 для неленивого читателя. Докажите это.

Теперь, когда мы переключились с первой нормы на вторую, мы должны спросить: что представляет собой самый общий тип матрицы, которая всегда преобразует единичный по второй норме вектор в другой единичный по второй норме вектор?

Понятно, что такую матрицу называют унитарной, мало того, это один из способов определить, что такое унитарная матрица! (Ну хорошо, хорошо. До тех пор, пока мы говорим только о действительных числах, такая матрица называется ортогональной. То же самое, вид сбоку.) Иначе определить унитарную матрицу, опять же в случае действительных чисел, можно как матрицу, у которой обратная и транспонированная матрицы равны.

Упражнение 2 для неленивого читателя. Докажите, что эти два определения эквивалентны.

«Бит, характеризуемый второй нормой», который мы только что определили, имеет собственное название, которое вы, может быть, встречали: это кубит. Физики любят представлять кубиты в так называемой кет-нотации Дирака, в которой наш вектор (α, β) превращается в α|0〉 + β|1〉. Здесь α есть амплитуда исхода |0〉, а β — амплитуда исхода |1〉.

В первый раз при виде этой нотации компьютерщики, как правило, лезут на стену, — особенно сильное впечатление производят на них несимметричные скобки! Но если проявить некоторую настойчивость, можно убедиться, что на самом деле она не так уж плоха. К примеру, вместо того чтобы записать вектор (0, 0, 3/5, 0, 0, 0, 4/5, 0), можно просто написать

опуская все нулевые компоненты.

Таким образом, имея кубит, мы можем преобразовать его посредством любой унитарной матрицы размером два на два, и у нас сразу же возникает знаменитый эффект квантовой интерференции. Рассмотрим, к примеру, унитарную матрицу

которая берет вектор на плоскости и поворачивает его на 45 градусов против часовой стрелки. А теперь рассмотрим состояние |0〉. Если мы применим U к этому состоянию один раз, то получим

 — это как взять монетку и подбросить ее. Но затем, если мы применим ту же операцию U второй раз, мы получим |1〉:

То есть, иными словами, применение «рандомизирующей» операции к «случайному» состоянию дает детерминистский результат! Интуитивно понятно, что, хотя к исходу |0〉 ведут два пути, один из этих путей имеет положительную амплитуду, а другой — отрицательную. В результате эти два пути деструктивно интерферируют и исключают друг друга. Напротив, оба пути, которые ведут к исходу |1〉, имеют положительную амплитуду и потому интерферируют конструктивно.

Причина, по которой вы никогда не наблюдаете подобной интерференции в классическом мире, состоит в том, что вероятности не могут быть отрицательными. Таким образом, взаимное гашение положительных и отрицательных амплитуд можно рассматривать как источник всех «квантовых странностей» — как единственный фактор, отличающий квантовую механику от классической теории вероятностей. Как жаль, что никто не сказал мне об этом в свое время, когда я впервые услышал слово «квантовый»!

Смешанные состояния

Теперь, когда у нас есть квантовые состояния, мы всегда можем сделать одну вещь: взять классическую теорию вероятностей и «положить ее сверху». Иными словами, мы всегда можем задаться вопросом: а что, если мы не знаем, какое у нас квантовое состояние? К примеру, что, если мы с вероятностью 1/2 имеем состояние

и с вероятностью 1/2 — состояние В результате у нас получается так называемое смешанное состояние — самый общий тип состояния в квантовой механике.

Математически мы представляем смешанное состояние при помощи объекта, известного как матрица плотности. Вот как это работает: скажем, у вас имеется вектор из N амплитуд (α1, …, αN). Затем вы вычисляете внешнее произведение вектора на себя, то есть матрицу N × N, элементом которой под номером (i, j) является αiαj (опять же в случае действительных чисел). Затем, если у вас имеется распределение вероятностей по нескольким таким векторам, вы просто берете линейную комбинацию результирующих матриц. Так, к примеру, если у вас имеется вероятность p для одного вектора и вероятность 1 — p для другого, то вы берете p раз одну матрицу и 1 — p раз другую.

Матрица плотности включает в себя всю информацию, которую в принципе можно получить из некоторого распределения вероятностей по квантовым состояниям: сперва мы применяем к нему унитарную операцию, а затем смотрим на состояние (или, как мы говорим в своей среде, измеряем его).

Упражнение 3 для неленивого читателя. Докажите это.

Из этого следует, что если два распределения порождают одну и ту же матрицу плотности, то эти распределения эмпирически неразличимы или, иными словами, представляют собой одно и то же смешанное состояние. В качестве примера пусть у вас имеется состояние

с вероятностью 1/2 и состояние также с вероятностью 1/2. Тогда матрица плотности, описывающая ваши знания о нем, выглядит так: