Квантовые вычисления со времен Демокрита - Скотт Ааронсон

Следовательно, никакое измерение, которое вы в принципе можете произвести, не сможет отличить эту смесь от |0〉 c вероятностью 1/2 и |1〉 с вероятностью 1/2.

Правило возведения в квадрат

Почему мы возводим амплитуды в квадрат, вместо того чтобы возводить их в куб, в четвертую степень или еще куда? Разумеется, это согласуется с данными экспериментов. Но по-настоящему хотелось бы знать вот что: если бы законы природы придумывали вы, какие причины могли бы заставить вас выбрать именно такой вариант, а не какой-то другой? Почему бы, к примеру, не использовать просто абсолютные значения амплитуд или кубы абсолютных значений?

Ну хорошо, я могу подкинуть вам пару аргументов в пользу возведения амплитуд в квадрат.

В качестве первого аргумента не послужит знаменитая теорема Глисона из 1950-х гг. Теорема Глисона позволяет нам, приняв за аксиому часть квантовой механики, получить все остальное! Говоря конкретнее, пусть мы имеем некоторую процедуру, которая принимает в качестве входа единичный вектор с действительными координатами, а на выход выдает вероятность какого-то события. Формально мы имеем функцию f, которая преобразует единичный вектор v ∈ RN в единичный интервал [0, 1]. Предположим, что N = 3 (на самом деле теорема работает в пространстве любой размерности, равной или большей трех, но, что интересно, не работает в двух измерениях). Далее, наше ключевое требование состоит в том, что всякий раз, когда три вектора v1, v2, v3 взаимно ортогональны, выполняется

f ( v 1) + f ( v 2) + f ( v 3) = 1.

Интуитивно понятно, что если эти три вектора представляют «ортогональные способы» измерения квантового состояния, то они должны соответствовать взаимно исключающим событиям. Что очень важно, нам не нужно помимо этого никаких других предположений — ни непрерывности, ни дифференцируемости, вообще ничего.

Вот наша стартовая точка. Поразительный вывод теоремы состоит в том, что для любой такой f существует смешанное состояние, такое, что f возникает при измерении этого состояния согласно стандартному правилу измерения в квантовой механике. Я не смог бы привести здесь доказательство этой теоремы, оно довольно сложное. Но это единственный способ «вывести» правило возведения в квадрат, не постулируя его с самого начала.

Упражнение 4 для неленивого читателя. Почему теорема Глисона не работает в двух измерениях?

Если хотите, я могу привести намного более простое рассуждение. Я включил его в одну из своих статей[55], хотя многие из вас, я уверен, знали его и раньше.

Пусть мы хотим придумать теорию, которая не была бы основана ни на первой норме, как классическая теория вероятностей, ни на второй, как квантовая механика, а опиралась бы на p-ю норму для некоторого p ∉ {1, 2}. Назовем (v1, …, vN) единичным вектором в p-й норме, если

| v 1 | p + … + | vN | p