Пульсирующая Вселенная - Николай Николаевич Горькавый

где слева стоит тензор Риччи, составленный из вторых производных метрического тензора gmn, а справа — комбинация из gmn и тензора энергии-импульса материи Tmn, в который не включается энергия гравитационного поля или излучения (Эйнштейн, 1919, 1953).

Рассмотрим квазисферическую систему, которая содержит большое количество сливающихся черных дыр, генерирующих гравитационное излучение. Для слабого внешнего гравитационного поля этой системы: gmn  mn + hmn, где mn — тензор Минковского для плоского пространства-времени и hmn ≪ mn. Запишем уравнение Эйнштейна для слабого поля в хорошо известном виде (Ландау и Лившиц, 1973; Вайнберг, 1975):

где

Решением волнового уравнения (4) является запаздывающий потенциал (Вайнберг, 1975; Мизнер, Торн, Уилер, 1977; Ландау и Лифшиц, 1973), в который входит переменная гравитационная масса, проинтегрированная по объему V*:

Пренебрегая скоростями движения тел по сравнению со скоростью света, нулевую компоненту тензора S00 запишем в простом виде:

Для массы системы, занимающей компактный объем с радиусом r* ≪ r, запишем:

Из (6) — (8) получим для нулевой компоненты h00:

Это даст искомую нулевую компоненту метрического тензора из метрики (1) — (2):

Хотя выражение (10) похоже на нулевую компоненту тензора из метрики Шварцшильда, оно описывает более сложный случай переменной гравитационной массы и зависит от запаздывающего потенциала. Можно рассматривать выражения (1), (2), (10) как модифицированную метрику Шварцшильда. Мы также будем называть ее метрикой Кутчеры.

Gorkavyi & Vasilkov (2016) вычислили и исследовали гравитационное ускорение для метрики Кутчеры (1) — (2). Запишем с учетом (10) выражение для гравитационного ускорения F (t, r) в случае слабых полей и медленных движений (Вайнберг, 1975):

или, после дифференцирования:

В (12) первый член справа характеризует всегда отрицательную ньютоновскую силу, описывающую только притяжение, которое в рассматриваемом случае может меняться по величине со временем из-за вариаций массы. Если рассмотреть, например, Солнечную систему, где орбита планеты определяется на ньютоновском языке равновесием гравитационной и центробежной сил, то уменьшение ньютоновского члена из-за уменьшения гравитационной массы должно вызывать смещение планеты наружу из-за избытка центробежной силы. Этот эффект иногда ошибочно рассматривается как антигравитация, хотя никакой отталкивающей гравитационной силы здесь нет. Отметим, что уравнение (12) не включает центробежных ускорений, поэтому не может описывать нарушение баланса между гравитационной и центробежной силами. При этом второй член в правой части (12) принципиально отличен от члена ньютоновского притяжения: он зависит от скорости изменения массы и может менять свой знак.

Опишем переменную массу M функцией, которая в зависимости от знака показателя α может описывать как уменьшение, так и увеличение массы:

Для функции (13) выведем из (12) следующее выражение для гравитационного ускорения (простым способом оно было получено в заметке Gorkavyi, 2003):

При α > 0 (уменьшение массы) новый член гравитационного ускорения описывает антигравитацию, а при α < 0 (увеличение массы) — гипергравитацию. Отметим, что новый член (14), в отличие от обычного ньютоновского члена гравитации, имеет релятивистский характер и в классическом пределе (при устремлении скорости света c к бесконечности) исчезает. Так как новый член слабее зависит от расстояния — как r –1, а не r –2, как у ньютоновского притяжения, то новая сила должна доминировать на космологических масштабах. Подчеркнем, что никаких центробежных сил уравнение (14) не включает, поэтому бессмысленны попытки интерпретировать обсуждаемую антигравитацию как проявление центробежных эффектов. Также неверно рассматривать уменьшение ньютоновского притяжения как антигравитацию, потому что эффект уменьшения ньютоновской силы описывается в (14) классическим отрицательным членом с r –2, то есть он при любых изменениях гравитирующей массы описывает только притяжение.

Проясним физический смысл уравнения (14), записав гравитационное ускорение через квазиньютоновский потенциал ϕ (Gorkavyi, 2003):

После дифференцирования потенциала ϕ получим выражение (14). Как нетрудно показать из анализа нового потенциала (15), антигравитация возникает тогда, когда склон потенциала направлен не внутрь, как в случае ньютоновского притяжения, а наружу: потенциал образует не воронку, а пик (см. Gorkavyi & Vasilkov, 2016; а также главу 10 основной части книги).

Отметим, что формула для гравитационного ускорения, использованная в (11), является классическим выражением для случая слабых полей и медленных скоростей. Поэтому, как детально показали Gorkavyi & Vasilkov (2016), данная антигравитация, которая определяется переменностью гравитационной массы, не имеет никакого отношения к координатной антигравитации, которую обсуждают Hilbert (1917) и ряд других авторов и которая, с одной стороны, фиктивна, а с другой — появляется лишь возле радиуса Шварцшильда и на скоростях, близких к скорости света.

Можно предположить, что новый член уравнения (14), который описывает антигравитацию при уменьшении гравитационной массы, отвечает за механизм Большого взрыва. Насколько реалистичны условия, при которых обсуждаемая антигравитация будет сильнее гравитационного притяжения?

Рассмотрим Вселенную с массой M и радиусом R, которая, коллапсируя, уменьшает свою массу из-за превращения ее в гравитационное излучение. Умножим выражение (13) на c 2 и продифференцируем:

где E — энергия гравитирующей материи. Из уравнения (14) с учетом (16) получим условие доминирования антигравитации над притяжением:

Хотя это условие было получено формально для случая слабых полей, можно ожидать, что оно будет выполняться для любых полей, потому что аналогичная формула получается и из квази-ньютоновских уравнений (15), на которые не накладывались какие-либо ограничения (Gorkavyi, 2003). Для оценки излучения системой гравитационных волн можно воспользоваться общим выражением для мощности излучения (Мизнер, Торн, Уилер, 1977):

Здесь мы ввели параметр несферичности S, который равен нулю для идеально сферической системы и S  1 для системы типа двойной звезды. Отметим сильную зависимость мощности гравитационного излучения от радиуса R –5 — гораздо сильнее, чем зависит от этих параметров ньютоновская гравитационная сила. Тем самым последняя будет безусловно проигрывать при коллапсе, стремящемся к достижению малых радиусов. Подставим (18) в (17) и получим условие доминирования