Алексей Хвостенко и Анри Волохонский - Илья Семенович Кукуй

этим новым звуком и нижним звуком квинты получится отношение 3:4, называемое натуральной квартой. Операция получения кварты из квинты, а также обратная и другие аналогичные операции называются обращением. Так, октаву можно получить обращением примы. Несколько расширяя общепринятое значение термина, можно называть обращением любое умножение или деление какого-либо тона на 2k, где k – целое число.

Следующее отношение 4:5 называется натуральной большой терцией, а 5:6 – малой терцией. Обращением малой терции можно получить большую сексту 3:5. Ряд тонов 1., 2., 3., 4., 5., 6. обладает тем свойством, что все его члены связаны между собой отношениями октавы, квинты, малой и большой терции или обращенными отношениями.

3. Идеальные тона и отношения

Ниже мы будем пользоваться вводимым из формальных соображений понятием «идеальный тон», неизвестным музыкальной теории. Однако фактически, говоря о ступенях до, ре, ми, фа и т. д. любой октавы, применяют именно это понятие. Наш термин просто придает количественный смысл обычным обозначениям положения тона в октаве. Например, если имеется тон 24., то, обратив его три раза, приходим к идеальному тону 3., которому могут соответствовать реальные тона 3., 6., 12., 24., 48. и т. д. Ряд 5., 10., 20., 40. … имеет в своей основе идеальный тон 5.; ряд 1., 2., 4., 8., … – идеальный тон 1. Иными словами, идеальным тонам соответствуют нечетные числа, а реальный тон Lr в какой-либо октаве выражается через идеальный тон Li формулой:

Lr = Li 2k

где k = 1, 2, 3…

Простыми идеальными тонами мы будем называть простые нечетные числа, а прочие нечетные числа – производными идеальными тонами; отношения идеальных тонов – идеальными отношениями. Квинте и кварте, терции и сексте – вообще любой паре отношений, связанных операцией обращения, соответствует одно и то же идеальное отношение. В ряду 1., 2., 3., 4., 5., 6. наличествуют три идеальных тона 1., 3. и 5., или – что то же – три простых идеальных отношения: 1:3 – идеальная квинта, 1:5 – идеальная большая терция и 3:5 – идеальная малая терция, а также принцип «обращения», удвоения, т. е. октава 1:2. Реальная квинта, большая и малая терции составляют аккорд-трезвучие – 4:5:6. Обращенное трезвучие может выглядеть как 3:4:5, соответствующее простое идеальное трезвучие – 1:3:5. Никаких других отношений более мы не будем вводить в систему произвольно. Это означает, что новые идеальные тона обязательно будут состоять с одним из тонов 1., 3., 5. или с введенными ранее производными тонами в отношениях квинты, большой или малой терции.

4. Структура октавы

Октава (1.–2.) не содержит целых ступеней, октава (2.–4.) содержит тон 3. и отношения кварты и квинты, октава (3.–6.) – тона 4., 5. и отношения квинты, кварты, двух терций и большой сексты. Этого, очевидно, недостаточно для музыки. Нужно ввести дополнительные ступени, однако не за счет новых простых идеальных тонов, например, 7., 11., 13. и т. д., чтобы не вводить неизвестных практике отношений и новых принципов. Можно вводить только производные идеальные тона по общей формуле:

Li = 3m ·5n

где m и n = 0, 1, 2…

Однако выбор m и n должен быть обоснован. Обычно таким обоснованием является простота.

Рассмотрим идеальное трезвучие, состоящее из квинты 1:3, большой терции 1:5 и малой терции 3:5. Его можно составить двумя способами. Первый из них – взять три простых идеальных тона 1:3:5. Здесь тон 1. играет одну и ту же роль в отношениях 1:3 и 1:5, тон 3. – в отношениях 1:3 и 3:5. Второй способ состоит в подборе к тонам 3. и 5. такого третьего тона, с которым эти тона составляли бы отношения 1:5 и 1:3 соответственно. Это будет тон 15., входящий в квинту с тоном 5. (5:15 = 1:3) и в большую терцию с тоном 3. (3:15 = 1:5). Таким образом, три простых идеальных отношения, кроме трезвучия 1:3:5, образуют трезвучие 3:5:15, в котором каждый тон играет двоякую роль в отношениях. Первое трезвучие воспринимается как минорное, второе – как мажорное.

Новый идеальный тон 15. мы ввели, не привлекая нового идеального отношения, однако оно устанавливается между тоном 1. из минорного трезвучия и тоном 15. из мажорного. Тон 15. находится внутри октавы (8.–16.). Заметим здесь, что если исключить не относящийся к разрабатываемой системе тон 7., в октаве (4.–8.) содержатся лишь те же отношения, что и в октаве (3.–6.). В октаве же (8.–16.), кроме простых идеальных тонов 1., 3., 5. и производного 15., содержится также производный и идеальный тон 9., который естественно теперь также включить в систему. Таким образом, в этой четвертой по порядку, если идти вниз от тона 1., октаве содержится всего пять идеальных тонов – 1., 3., 5., 9., 15., которые состоят в следующих идеальных отношениях: 1:3; 3:5; 1:5 (простые отношения) и 1:9; 5:9; 1:15 (производные отношения). В реальной форме последние выглядят как 8:9 (большой тон), 9:10 (малый тон) и 15:16 (большой полутон).

Эти пять идеальных тонов определяют одно мажорное и два минорных трезвучия (1:3:5 = 3:9:15), причем последние смещены одно относительно другого на квинту. Роль квинт и терций – или, что то же, тонов 3. и 5. – в музыке различна: квинты более существенны, что отражается возможностью получения из данных пяти тонов – трех квинт (1:3, 3:9 и 5:15) и лишь двух больших (1:5 и 9:15) и двух малых (3:5 и 9:15) терций.

Октава (8.–16.) имеет следующую структуру: 8., 9., 10., 12., 15., 16. или, в идеальной форме: 1., 9., 5., 3., 15., 1., чему соответствует следующий порядок интервалов: большой тон, малый тон, малая терция, большая терция, большой полутон. Такое деление октавы, опять-таки, не удовлетворяет требованиям современной музыки, так как интервалы в терцию очень велики. Для дальнейшего расчленения октавы на постулированных выше принципах можно построить еще по пять тонов от каждого из имеющихся пяти идеальных тонов, всякий раз принимая первый тон за единицу, а остальные сохраняя в тех же отношениях, то есть транспонировать пятизвучие на квинту, большую терцию, большой тон и большой полутон. Это выглядит как простая операция умножения:

1 ∙ (1, 3, 5, 9, 15) = 1, 3, 5, 9, 15

3 ∙ (1, 3, 5, 9, 15) = 3, 9, 15, 27, 45

5 ∙ (1, 3, 5, 9, 15) = 5, 15, 25, 45, 75

9 ∙ (1, 3, 5, 9, 15) = 9, 27, 45, 81, 135

15