Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

Георг-старший неохотно согласился. Его отец умер от туберкулеза несколько месяцев спустя, но перед этим Георг-младший написал ему письмо, объясняя свою страсть к новой науке. «Моя душа, все мое существо живет в моем призвании, – уверял он отца. – Теперь я счастлив видеть, что ты не будешь сердиться, если я в своем выборе буду руководствоваться своими чувствами».

«Так называемый поверженный гений»

Георг-старший тоже писал сыну – было наставительное послание, полное суровых предупреждений о неведомых испытаниях, которые наверняка его ждут. Письмо учило, как выстоять перед этими угрозами. Остерегайся «зависти и злословия открытых или тайных врагов», гласило оно. «Как часто большинство подающих надежды людей бывают побеждены после незначительного, слабого сопротивления в своей первой серьезной борьбе сразу после их вступления в практические дела, – писал отец. – Их отвага сломлена, они совершенно изнурены после этого и даже в лучшем случае похожи на так называемого поверженного гения!»

Это письмо можно прочесть двояко: «Не стань поверженным гением»… или… «Ты станешь поверженным гением». Неясно, как воспринял его Георг-младший, но он не расставался с этим письмом до конца жизни и часто на него ссылался.

Далекие отцы – отстраненные, умершие или покинувшие семью – несут в себе и притягательность, и загадку. Они чем-то похожи на неподвижные звезды январской ночью – путеводные ориентиры. Темное, слабое вдохновение. Эти звезды достаточно ярки, чтобы их видели за много световых лет. Но они слишком далеко, чтобы мы что-то чувствовали. Удаленные. Дистанцированные. Тусклые. Отцы-звезды подобны огненным газовым гигантам, видимым с расстояния в тысячи световых лет. Вблизи они могли бы быть огромными светилами или даже мощными квазарами – горячими, яркими, массивными. С гравитационной тягой, искривляющей время и пространство. Но с расстояния в пол-Вселенной они удручающе тусклы. Крошечные точки света на холодном, ледяном небе.

После смерти отца Кантор нашел свой путь в Берлинский университет – тот самый, который несколько лет спустя откажет Ковалевской. Получив докторскую степень, он начал преподавать в Университете Галле – менее престижном, чем он рассчитывал. Там в 1875 году он написал свою первую работу о бесконечных множествах. И в последующие восемь лет, кульминацией которых стала его книга 1883 года, он нещадно загонял себя, совершенствуя теории, переопределяя понятие бесконечности и доводя себя до полного истощения.

* * *

Понятие бесконечности существует давно, и математикам 1883 года оно, безусловно, не чуждо. Но до того времени само это понятие оставалось пустым. В этом можно винить Аристотеля. Его определение, господствовавшее в западной науке до Кантора, проводит границу между потенциальной бесконечностью, которую мы можем представить, и актуальной бесконечностью, которая нам недоступна.

С философской точки зрения его довод звучит обоснованно. Можно утверждать, как это, в сущности, и делал Аристотель, что наш мозг не приспособлен для обращения с бесконечностью. Люди – существа конечные, живущие ограниченную жизнь. Наш мозг настроен на временное существование, мы запрограммированы фокусироваться на преходящем. На ограниченном. На постепенном росте. На упадке. На приливах и отливах. На взлетах и падениях. И на всех эгоистичных пиках и спадах жизни. Мы мыслим дискретными данными. Мы соединяем точки в линии, а числа – в ряды. Мы анализируем эти данные, чтобы увидеть тренды. Мы думаем о темпах изменений. И предсказываем будущее. Возможно, именно эволюция позаботилась о том, чтобы мы это умели.

Хорошо, но почему тогда бесконечность должна быть исключением. В каком-то смысле мы, люди, прекрасно приспособлены для того, чтобы иметь дело с этим понятием. Тысячи лет, задолго до того, как мы научились работать с бесконечностью математически, мы легко могли представить то, что Аристотель называл потенциальной бесконечностью, – например, бесконечный список чисел во всем его нескончаемом великолепии. Даже маленький ребенок, совершенно не знающий математики, может представить базовую идею счета до бесконечности, а затем совершить когнитивный скачок и заявить: «Бесконечность плюс один».

В этом и состоит гений Аристотеля: он признал, что человек способен дотянуться до потенциальной бесконечности, но актуальная ему недоступна. Эта идея оказала большое влияние на математику. И даже спустя тысячи лет после Аристотеля о бесконечности могли сказать лишь одно: она бесконечна. Ее всегда воспринимали как идеал, но не как реальность; как философскую игру ума, до которой невозможно дотронуться. Большинство считало, что бесконечность не может быть полноценным объектом в математике. Веками величайшие мудрецы и математики подступались к этой идее, ломали над ней голову – и неизбежно отступали. И не зря.

«Бесконечное, будь то бесконечно большое или бесконечно малое, – скажет позже, в 1942 году, профессор Университета Северной Каролины Дж. У. Ласли – младший, – доставляет хлопоты». И даже хуже. По его словам, оно «будто несет за собой беду».

Кантор поймет эту катастрофу лучше всех. Но его это не пугает. Он вступает в борьбу с концепцией Аристотеля и решительно ее пересматривает. У него даже есть название для философского разграничения: идею абстрактной бесконечности он называет «несобственной бесконечностью». Кантора же интересуют «собственные бесконечности» – завершенные. Не просто бесконечность как идея, а бесконечность как реальный объект, доступный для математической обработки. В этом суть революции 1883 года: бесконечность как синица в руках, а не как пугало в кустах.

Некоторые из его идей были абсолютным табу для большинства математиков. «Завершить» бесконечность означало каким-то образом одолеть бесконечно долгий процесс перебора, вроде счета всех целых чисел до конца, минуя даже такие огромные числа, которые мы не можем представить и назвать. Досчитать до гуголплекса гуголов. Это невозможно, считали многие, поэтому лучше оставить бесконечность прятаться в кустах.

«Я нисколько не скрываю от себя, что, решаясь на это, я вступаю в известный конфликт с широко распространенными взглядами на математическую бесконечность», – говорит Кантор. И еще одно: он твердо верит, что у него миссия от Бога. Для него эта птица сидела не просто в кустах, а в Неопалимой Купине.

Ахиллес и черепаха

Во всем виноват древнегреческий философ Зенон Элейский: это он первым вскрыл, как опасно заигрывать с бесконечностью. Его хитроумными парадоксами до сих пор мучают студентов на лекциях по философии. Бедолаги ломают головы, пытаясь понять, как эти дурацкие черепахи обгоняют бегунов, а смертоносные стрелы зависают в воздухе.

Согласно зеноновской апории «Дихотомия», движения не существует. Почему? Потому что для перемещения на любое расстояние объект должен сначала пройти бесконечную серию промежуточных точек. Поразить цель невозможно, ибо для этого стрела должна преодолеть половину пути, затем половину оставшегося (до четверти), затем половину до восьмой части – и так снова и снова до конца времен. Учитывая бесконечное число таких точек, вы теоретически никогда не достигнете цели – так, по крайней мере, утверждает коварный Зенон.

Досталось от