Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

него и бедному Ахиллесу – герою Троянской войны, величайшему воину древности. Бесстрашный. Гордый. Непревзойденный. Непобежденный. Несломленный. Но Зенон низводит героя до неудачника, делая его проигравшим в гонке с медлительной, копошащейся черепахой. На старте, говорит Зенон, старая рептилия получает честную фору. Ахиллес быстр, спору нет. Но чтобы догнать черепаху, он сначала должен сократить дистанцию наполовину, потом еще наполовину, и еще – пока герой не сдастся с досады или черепаха не умрет от скуки. В лучшем случае Ахиллес никогда не финиширует. В худшем – проигрывает забег.

Истинным победителем, конечно, стал Зенон. Его ядовитый парадокс был, по сути, ловкой атакой на школу пифагорейцев, которые приняли примитивную концепцию актуальной, завершенной бесконечности. Поскольку Зенон был категорически против завершенных бесконечностей, он вылил ушат помоев на головы пифагорейцев с очень большой (пусть и не бесконечной) высоты. Тем самым он предупредил сотни поколений математиков и философов, что само понятие бесконечности таит угрозу. Осторожно! Не влезай – убьет! И это сработало.

После Зенона репутацию бесконечности слегка подправил Аристотель, введя различие между актуальной (завершенной) и воображаемой (потенциальной) бесконечностью. Хитрость подхода Аристотеля состояла в том, что он разрешил парадокс Зенона путем его избегания. Он фактически ушел от ответа, «отфутболив» бесконечность в область вещей, которые интересны, но заниматься которыми совершенно необязательно. Все бесконечности потенциальны, утверждал он, существуя лишь в разуме. А поскольку мы можем лишь помыслить – но не завершить – процесс, не имеющий конца (как счет до бесконечности), то зачем об этом беспокоиться?

Это более или менее закрыло вопрос. На 2000 лет после Аристотеля воцарился принцип: абсолютная бесконечность – на выход! Потенциальная бесконечность – добро пожаловать.

* * *

Хотя вопрос об актуальной бесконечности поднимался снова и снова на протяжении веков, люди в основном принимали подход Аристотеля: бесконечность лишь потенциальна. Христианские ученые особенно чтили Аристотеля, так как его концепция подразумевала, что актуальная бесконечность (под которой естественно понимался Бог) лежит далеко за пределами мира смертных. Фома Аквинский соглашался: актуальная, неизменная, непостижимая, завершенная бесконечность недоступна человеческому разуму. Посягнуть на нее означало бы бросить вызов уникальной природе божественного. Лишь Бог знает помыслы Бога и пределы абсолюта, говорил Аквинский.

Галилео Галилей обдумал это и пришел к похожему выводу. Он тоже выступал против завершенных бесконечностей, но привел жесткие математические аргументы. Если допустить существование завершенных бесконечностей, рассуждал он, то бесконечная коллекция четных чисел окажется того же размера, что и бесконечная коллекция всех чисел вообще – четных и нечетных вместе взятых. А ведь последних должно быть вдвое больше. (Слова «множество» он не использовал, до этого оставалось еще 250 лет.)

Это абсурд, утверждал Галилей. Как могут все четные и нечетные числа вместе составлять бесконечное множество такого же размера, как одни только четные? Казалось, это очередное Q.E.D. – quod erat demonstrandum (Ч.Т.Д., «что и требовалось доказать»). И он был не одинок. Такие философы, как Джон Локк, Рене Декарт и Барух Спиноза, пришли к тому же выводу, твердо держась древнего кредо: infinitum actu non datur («актуальной бесконечности не существует»).

Таким образом, к тому времени, когда Кантор занялся этой темой, у бесконечности была ужасная репутация. И некоторым казалось, что он делает ситуацию только хуже.

* * *

Чтобы взглянуть на бесконечность глазами Кантора, давайте проведем мысленный эксперимент. Представьте, что вы выгребаете все из карманов в гигантское ведро. Туда же летит ваша одежда. И обувь – все, что на вас есть. А теперь кидайте в ведро все, к чему прикоснетесь за день: от чашки кофе до ночника. И это не все. Кидайте туда все, на что просто упал взгляд. Добавьте все, о чем вы подумали – реальное или вымышленное, от драконов до пончиков. Валите все в кучу.

Насколько большим будет ваше ведро? Какое пространство оно займет? Стадион? Город? Океан? Всю планету? А что, если заполнять такое ведро каждый день всю жизнь? Какого размера будет эта коллекция из 30 тысяч ведер, собранных за долгую жизнь? Как все эти ведра будут выглядеть вместе? Если поставить их друг на друга, дотянутся ли они до облака Оорта? Но даже если и так, чем будет ваша эгоистичная стопка ведер по сравнению со всей Вселенной? Каплей в океане? Биением сердца внутри урагана?

В этом и проявляется гений Кантора. Вместо того чтобы опустить руки в отчаянии, он берется примирить бесконечность со своей абстрактной концепцией множества. Коллекция всех вещей, которых вы коснулись за день, – это лишь один пример множества: строго определенной группы порой едва связанных вещей.

Множество – то самое ведро – определяется своим содержимым, то есть элементами. И порой некоторые из этих элементов сами являются коллекциями. Представьте множество всех ваших ведер за жизнь. Или представьте армию. Армия как множество содержит отдельные группы рядовых, капралов, сержантов, лейтенантов, капитанов, майоров, полковников и высших офицеров. Там могут быть группы гражданских подрядчиков и госслужащих, прикомандированных из других ведомств. А могут быть и отдельные личности – например, генерал армии или главнокомандующий.

Но что, если ваша армия бесконечна? Представьте бесконечное число солдат в бесконечном ряду званий. Но представить это непросто. В нашем мире такого существовать не может. Наш разум и наши взгляды опираются на конечное. Мы не живем в бесконечности. И никогда не касаемся ее – в этом, собственно, и была мысль Аристотеля. Но теория множеств позволяет делать именно это: созерцать масштабы, выходящие за пределы человеческого понимания.

Кантор начал понимать это в 1870-х, а после 1883 года это стали понимать и многие другие. Теория множеств Кантора в каком-то смысле меняет правила игры. Он показывает, что бесконечные множества, включая коллекцию всех натуральных чисел, – это завершенные бесконечности. Это актуальные бесконечности. Другими словами, вы можете коснуться их, даже если их нельзя сосчитать обычным способом. И они могут коснуться вас.

Grundlagen einer allgemeinen…

Поскольку Кантор делает актуальную бесконечность доступной, это ведет к странным последствиям и вызывает бурные споры. Почему? Во-первых, он строго доказывает, что существует не один тип бесконечности, и одни из них больше других. И он находит способ их сравнивать.

Меньшие бесконечные множества, согласно его теории, – это те, что эквивалентны коллекции всех натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}. Кантор доказывает именно то, чего страшился Галилей: подмножество натуральных чисел может быть равно по своему бесконечному размеру исходному множеству. Так, множество всех четных чисел имеет точно такой же размер, как и множество четных и нечетных, вместе взятых. То, от чего стонал Галилей, теперь вызывает у Кантора улыбку.

Но этот результат настолько контринтуитивен,