Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

Урок Прометея в том, что даже за величайшие дары гения приходится платить жестокую, кровавую цену: здравствуй, мудрость – прощай, печень. Ни одно доброе дело не остается безнаказанным!

Глава 3. Бесконечность не приходит одна: 1883–1899

Все доказуемое не должно быть принимаемо в науке на веру без доказательства.

Рихард Дедекинд

Люди с готовностью отвергают теорию множеств. Многих сбивают с толку, а то и возмущают методы Кантора. Другие оспаривают его результаты. А кому-то просто нравится пускать яд. Или же они испытывают отвращение к его теориям – и среди них не последнее место занимает великий французский математик Анри Пуанкаре, называющий теорию множеств «болезнью», от которой, как он надеется, математика со временем излечится.

Другой знаменитый французский математик, Шарль Эрмит, выступает даже против перевода работ Кантора на французский. Лучше пусть они остаются неизвестными на каком-то путаном иностранном языке, чем отравляют взор любого уважаемого французского ученого. Вместо канторовского принятия через «прыжок веры» («вижу, но не верю») Эрмит проповедует путь полного сопротивления. Я бы охарактеризовал его, переиграв известную фразу Кантора: Je ne vois pas, et je ne le crois pas («Я не вижу этого и не верю этому»).

Вероятно, здесь играет роль и геополитическое напряжение. В конце XIX века даже в такой далекой от токсичной политики области, как математика, французы есть французы, а немцы есть немцы, и они редко поют хором. Подлинный научный интернационализм зародился лишь в конце столетия, и даже тогда глубокое недоверие по обе стороны неудобной франко-германской границы сохранялось и в XX веке – особенно после Первой мировой.

По иронии судьбы больше всего неприятностей Кантору доставляют не французы, а его соотечественник – немецкий математик Леопольд Кронекер, которого Кантор знал со студенческих лет в Берлине. Параллели между ними поразительны. Оба учились в Берлине (Кронекер – на поколение раньше). Оба получили докторскую степень в 22 года. Оба женились ближе к 30. У обоих было по шестеро детей, и оба умудрялись двигать науку, будучи многодетными отцами. Наконец, в 1880-х оба они были суровыми, твердокаменными немецкими профессорами.

Этих сходств могло бы хватить для того, чтобы Кронекер стал для Кантора своего рода фигурой отца, но их взгляды на науку были слишком полярны. Они никогда не могли бы стать коллегами, не говоря уж об отношениях «отец – сын». Кронекер мог бы стать фигурой отца лишь в наихудшем возможном смысле: если убрать любой налет семейной любви и думать исключительно о злом отце в его самой суровой ипостаси «тигра», практикующего жесткое воспитание. Несбывшиеся надежды. Тихое разочарование. Гневное неприятие.

Если описывать «отцовский терруар» Кронекера языком сомелье, то в его аромате доминирует кислый нрав, в букете слышны нотки мрачного родительского скепсиса, а послевкусие отдает терпкой, ядовитой ненавистью. Кронекер и не думал смотреть на Кантора с уважением старшего брата, и уж тем более – с гордостью наставника. Их взгляды на мир были совершенно противоположными.

Кронекер – ведущий «финитист» своего времени, человек, который, по сути, ненавидит бесконечность. Он считает, что вся математика должна строиться на целых числах. Счете. Базовой арифметике. Простой алгебре. Он предпочитает проверенные методы, даже если это ретроградный подход. Единственные числа, достойные обсуждения, – это целые числа. По его мнению, математизация бесконечности заслуживает неприятия, если не насмешки. Он не признает бесконечности ни в чем. Из-за этого Кронекера иногда называют скептиком.

Скептик отвергает в математике любые концепции, существование которых нельзя продемонстрировать прямым построением. Это ставит его в оппозицию ко многим в его поколении и заставляет занимать странные позиции. Например, он отвергает иррациональные числа – те непериодические, бесконечные десятичные дроби вроде π и √2, которые пифагорейцы открыли тысячи лет назад. В отличие от рациональных чисел, которые можно представить как отношение двух целых чисел, иррациональные имеют бесконечные десятичные разложения, которые нельзя свести к простой дроби. Кронекеру эта мысль совершенно не по душе. Он иррационально отвергает иррациональные числа и заявляет, что предметом анализа должны быть только натуральные числа. И если таково его отношение к иррациональным числам, можете быть вдвойне уверены: он ненавидит теорию множеств Кантора во всей ее безобразной красе.

«Бог создал целые числа, – говорит Кронекер. – Все остальное – дело рук человеческих».

Бог создал целые числа

Развивая теорию множеств, Кантор приходит к необходимости изобрести концепцию трансфинитных чисел, чтобы измерить размер множеств с бесконечным числом элементов. Он называет их «трансфинитными», потому что они необычны: они фиксируют бесконечность, но при этом участвуют в алгебраических уравнениях как обычные числа.

Он определил, например, трансфинитное число

Континуум-гипотеза захватывает внимание Кантора и становится его главной идеей с конца 1870-х вплоть до конца его жизни во время Первой мировой войны. Он убежден, что все бесконечные множества имеют только два размера: алеф-нуль и алеф-один. Малая бесконечность и большая бесконечность. Счетные и несчетные. Бесконечность размера целых чисел или вещественных чисел. Континуум-гипотеза гласит, что все бесконечные множества попадают либо в одну категорию, либо в другую и никогда не оказываются между ними.

Доказательство континуум-гипотезы станет навязчивой идеей для математиков конца XIX века. Фактически Гильберт, выступая в 1900 году в Париже со своими знаменитыми 23 проблемами будущего, посчитал доказательство этой гипотезы настолько важным, что сделал ее первой задачей в своем списке.

Но задолго до этого Кронекер отказывается принимать подобные идеи. Числа, которые не являются числами, – это не числа, утверждает он. (Еще одним его любимым изречением было: «Интересно, но не математика».) Для Кантора это становится серьезной проблемой, ведь все эти выпады звучат отнюдь не в пустоте.

Мнение Кронекера значит очень много, ведь он – влиятельный математик и редактор Journal für die reine und angewandte Mathematik («Журнал чистой и прикладной математики»), который часто называют «Журналом Крелле» в честь основателя Августа Леопольда Крелле. Это старейшее и одно из самых престижных математических изданий Европы. Используя свое влияние, Кронекер сумел задержать публикацию одной из ключевых статей Кантора в 1870-х. Статья касалась размерной инвариантности вещественных чисел и доказывала, что бесконечная плоскость и бесконечная линия «равномощны» и эквивалентны в своей бесконечности.

* * *

Результаты Кантора, безусловно,