Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

разработанного в XIX веке, который позволяет установить истинность математического утверждения, не предъявляя конкретного примера. Гильберт влюбляется в этот подход еще в университете. Он становится свидетелем того, как немецкий математик Фердинанд фон Линдеман получает престижную кафедру в Кёнигсбергском университете, использовав доказательство чистого существования для демонстрации «трансцендентности» числа π (это означает, что данное число не является корнем ненулевого многочлена с рациональными или целыми коэффициентами). Объяснять детали долго, но, по сути, Линдеман доказал трансцендентность π, показав, что иначе возникло бы противоречие.

Гильберт применяет аналогичный подход для доказательства так называемой теоремы Гордана, которая годами оставалась неуловимой и казалась неразрешимой, пока за нее не взялся Гильберт. Математик Пауль Гордан, разработавший одноименную теорему, смог доказать лишь ее частный случай. В течение 20 лет после этого математики всей Европы не могли распространить его доказательство за пределы этого простого случая. Гильберт делает это совершенно новым способом, используя чистое доказательство существования в 1891 году, что один из его студентов позже охарактеризует фразой Ex ungue leonem («по когтям узнают льва»). У больших кошек есть зубы!

Поначалу Гордан критикует революционную работу Гильберта именно из-за использования чистого доказательства существования. «Это не математика, а теология», – гласит его знаменитое высказывание, хотя позже он признает, что доказательство совершенно верно. «Я убедился, что у теологии тоже есть свои достоинства», – иронизирует он.

Шекспировский вопрос

Помимо религии и Шекспира, Кантор находит утешение, посвящая часы работе в «Обществе немецких естествоиспытателей и врачей». Это вдохновляет его создать похожую организацию, целиком посвященную математике, – Deutsche Mathematiker-Vereinigung («Немецкое математическое общество»). Первое собрание проходит в 1891 году.

На этой встрече он готовит ловушку для Кронекера, разрабатывая технический аргумент, называемый «диагонализацией», чтобы доказать, что «большая бесконечность» – несчетное множество вещественных чисел 

– действительно является несчетным бесконечным множеством. Один из биографов намекает, что Кантор затеял все это общество с одной коварной целью: ему нужна была сцена. Подобно Гамлету, он стремился разыграть представление и спровоцировать Кронекера на реакцию или даже на выступление против теории множеств. Затем он опозорил бы его перед всеми, контратаковав своим диагональным аргументом. Собственные письма Кантора отчасти подтверждают это. «У многих слепцов впервые откроются глаза», – говорит он, предвкушая первую встречу. Быть теории или не быть!

Но дуэль (если Кантор ее планировал) не состоялась. Незадолго до съезда жена Кронекера разбилась в горах и погибла. Кронекер приехать не смог. Он прислал короткое, трогательное и дружелюбное письмо. Участники съезда зачитали его вслух и тут же проголосовали за избрание Кронекера в правление. Но пост он так и не занял. Через несколько месяцев Кронекер умер.

После смерти Кронекера усилия Кантора по созданию международного математического сообщества приносят большие плоды. В 1897 году в Цюрихе проходит I Международный конгресс математиков. К тому времени большинство уже в полной мере оценило силу теории множеств Кантора, и в приветственной речи на конференции пленарный докладчик отдает ему должное. Теория множеств – это огромный вклад, говорит он. Это вдохновляет Кантора с головой погрузиться в математику в последние годы XIX века, и вскоре он публикует то, что биографы назовут его самыми известными и завершенными трудами: две статьи, излагающие суть теории множеств, ее принципы и следствия. «В почти совершенной логической форме», – напишет математик Филип Журден в 1912 году.

Эти две статьи окажутся его последним великим трудом. Впереди ждет еще много препятствий. Начинают всплывать серьезные технические проблемы теории множеств – логические сбои, известные как парадоксы, которые, кажется, потрясают саму основу теории. Один из них обнаружен в 1897 году итальянским математиком Чезаре Бурали-Форти. Так называемый парадокс Бурали-Форти гласит: если вы создадите множество всех возможных «порядковых чисел», то это множество будет содержать порядковое число, большее, чем оно само, что не имеет смысла.

Вскоре сам Кантор находит еще один парадокс, который станет известен как парадокс Кантора (подробно рассмотренный в пятой главе). Тревожное открытие этих парадоксов усугубляет его беспокойство по поводу сохраняющейся неспособности доказать континуум-гипотезу.

Но последний удар нанесла личная трагедия.

* * *

В 1899 году умирает его младший брат. Константин Кантор – лихой бывший кавалерист, офицер Гессенских драгун (из тех, у кого острые сабли и мундиры с иголочки). И к тому же романтик. Константин привлек внимание и завоевал сердце итальянской баронессы, удалившись на покой на чудесный остров Капри в Неаполитанском заливе. В 1899 году он внезапно и трагически умирает, что становится тяжким бременем для Кантора.

В ноябре того же года глубоко встревоженный Георг Кантор берет отпуск в университете, а затем отправляет письмо в курирующее министерство. Он спрашивает, может ли он ходатайствовать об освобождении от преподавания. Может ли он занять более низкую должность, например библиотекаря, сохранив при этом жалованье? Он хочет уйти от математики – быстро, навсегда и «любой ценой», как он пишет в письме. Он уверяет министров, что в высшей степени квалифицирован для работы библиотекарем. А чтобы сделать предложение более привлекательным, он утверждает, что владеет определенными фактами и истинами, неизвестными и скрытыми, – информацией, которая потрясет сами основы германо-английских отношений. Он утверждает, что знает некие вещи. Тайные вещи. Информацию, «которая непременно ужаснет английское правительство, как только дело будет предано огласке», – пишет он.

Не могли бы они прислать ему ответ в течение двух дней, спрашивает он. Ему нужно знать это в ближайшее время, потому что в противном случае он планирует пойти работать на русских. В конце концов, он родился в Санкт-Петербурге. Если он не получит ответа через два дня, он непременно поступит на службу к царю Николаю II. Но месяц спустя он сдается и возвращается к преподаванию в университете. И тут судьба наносит самый страшный удар.

16 декабря 1899 года, пока он читает лекцию о проблеме авторства Шекспира и Бэкона, внезапно умирает его сын Рудольф. Рудольф – гордость и радость Кантора. Мальчик подает огромные надежды как чрезвычайно талантливый скрипач. Кантор сам учился игре на скрипке в детстве. Был бы он счастливее как музыкант? Почему он это бросил? Наблюдение за Рудольфом пробуждает в нем любовь к инструменту, и в своем сыне он видит то, чем мог бы стать сам. Его сын играет, и Кантору от этого становится лучше.

Ни один отец не должен пережить такую потерю. С уходом Рудольфа Кантор раздавлен. Он теряет связь с реальностью, утверждая, что его сына убили английские агенты. Что они охотились за ним, а убили Рудольфа. Он видит заговоры повсюду. Начинается закат: последние 18 лет жизни он то и дело ложится в клиники для нервнобольных и выписывается из них.

* * *

Когда люди терпят крушение, это часто происходит по одним и тем же роковым причинам. Кто-то летит слишком низко и теряет