Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

управление на взлете. Кто-то даже не набирает скорости, чтобы оторваться от земли, и не может перелететь деревья в конце полосы. Другие набирают высоту. Они парят свободно. Но потом у них кончается топливо. А другие летят слишком высоко и трагически падают – как Икар, критянин с восковыми крыльями из древнегреческого мифа. Подлети слишком близко к солнцу, и твои крылья растают.

Кантор – это Икар. Он ставит слишком высокие цели и летает слишком высоко. Он производит революцию в математике теорией множеств, стремится к божественному, убеждает себя, что его открытия перевернут не только умы математиков, но и сердца философов и теологов. А потом его крылья плавятся. Все, что казалось ему золотом, померкло.

Глава 4. Пушки, золото и зловещая математика войны: 1899–1902

Ex Africa semper aliquid novi

(Из Африки всегда что-нибудь новое).

Плиний Старший

В то время как Кантор переживал кризис, Бертран Рассел сделал открытие чистой пробы: любовь с первого взгляда. Ему 17 лет, когда он встречает Алису (Элис) Уитолл Пьерсолл Смит, 22-летнюю американскую студентку из Филадельфии. Она проводит лето в Англии с семьей перед последним курсом в колледже Брин-Мор. Пьерсолл Смит – семья неординарная, они живут по соседству, и бабушка Рассела приглашает их на чай.

Берти мгновенно был очарован. Его бабушка – совсем наоборот. Он находит Элис удивительной: умной, интересной, образованной и красивой. Она открытая феминистка и защищает именно то, от чего его бабушку коробит: избирательные права женщин, половое воспитание, свободную любовь. Леди Рассел видит в ней лишь громкую, грубую, вульгарную и неотесанную американку. О чем она думала, приглашая их на чай?!

Когда ее внук и Элис становятся парой, леди Рассел изо всех сил противится этому. Узнав о планах пожениться, она холодно заявляет, что не может этого одобрить. Она пытается расстроить брак. На свадьбу она, как и ожидалось, не приходит. А когда вскоре после этого она умирает, Берти признается, что остался совершенно равнодушен. «Меня это ничуть не тронуло», – напишет он в автобиографии много лет спустя.

* * *

До женитьбы Рассел работает британским дипломатом в Париже – престижный пост, соответствующий его высокому статусу. Но Берти пока равнодушен к политике и дипломатии, поэтому вскоре подает в отставку. После свадьбы с Элис в 1895 году они проводят медовый месяц в Германии, где Рассел принимает ключевое решение. «Я решил посвятить себя философии математики», – говорит он. На следующий год они с Элис едут в Америку. По иронии судьбы, именно в Соединенных Штатах Рассел впервые знакомится с трудами современных немецких математиков.

Это становится для него настоящим открытием. Узнав о достижениях немцев, Рассел расстается с любыми иллюзиями о британском математическом превосходстве. Рассел принадлежит к последнему поколению «изоляционистов». Из-за спора о том, где впервые появился математический анализ, задевшего национальную гордость почти два века назад, Англия в конце XIX века все еще оторвана от европейской математики – и из-за этого остается своего рода провинциальным захолустьем. «Блестящая, но нездоровая изоляция», – напишет американский математик Эйнар Хилле в 1953 году.

Немецким математиком, который окажет на него сильнейшее влияние, станет профессор Йенского университета Фридрих Людвиг Готлоб Фреге, прославленный как главный логик конца девятнадцатого века (и, увы, печально известный своим антисемитизмом в начале двадцатого).

Фреге родился в то время, когда ученые искали все более строгие доказательства в математике. Это также время возрождения интереса к логике. Через несколько лет после рождения Фреге британский математик Джордж Буль публикует книгу, где излагает методы дедукции с использованием уравнений и представляет логику через знаки и символы в алгебраической форме.

«Это хорошо, – подумает позже Фреге, – но недостаточно хорошо».

Фреге мечтает не просто открывать отдельные математические истины – доводить разрозненные утверждения из какого-то угла математики до абсолютной логической строгости. Его настоящая цель – укрепить истинность всей системы математики. Ее основания. Он хочет показать, насколько универсальны, связаны и взаимозависимы математические истины. Математике нужен прочный фундамент, считает он. Основания решают все. И в эти основания он заливает весь бетон своего существа.

В 1879 году, пока Кантор с трудом держит удары Кронекера, а Бертран Рассел – еще «контуженный» домашним воспитанием школьник, запертый в холодных залах семейных ожиданий, Фреге пишет малоизвестную книгу «Исчисление понятий» (Begriffsschrift). Рассел откроет ее для себя через 20 лет и будет поражен. В ней изложена своего рода визуальная система записи для логики, новый язык, созданный с помощью символов «для чистого мышления», как говорит Фреге. Это язык формул, который, как он надеется, заменит несовершенство, неточность и двусмысленность обычного языка.

Можно сказать, что Фреге в каком-то смысле настроен против языка – даже при том, что изобретает новый. Но его язык призван быть другим. Естественные языки – помеха для чистой логики, убежден он. Все нюансы обычной речи создают проблемы. Двусмысленность. Неточность. Подтекст. Тонкости. Игра слов. Гиперболы. Скрытый смысл. Цинизм. Юмор. Ирония. Ненадежные рассказчики. Дезинформация и прямая ложь. Все то, что делает литературу великой, делает логику ужасной.

Даже тщательно выверенные сочинения математиков не годятся для этой цели – будь то на английском, немецком, латыни или иных языках. Все написанное о математике слишком сильно полагается на язык, невзирая на уравнения. А человеческий язык ограничивает, если не сказать искажает, наше видение мира. Описывать нечто математически с помощью обыденной речи – значит принять эти ограничения и допустить неточность смысла, чего Фреге стремится избежать.

Обычный язык никогда не позволил бы ему свободно выражать математические истины, поэтому Фреге изобретает новый язык с нуля. Язык специально для математики. Точный. Свободный от психологической двусмысленности. Лишенный непреднамеренных смыслов. Язык, сбросивший с себя оковы обычной речи.

Почему так важна однозначность? Подумайте об этом так: когда вы строите дом, вы не используете неоднозначные материалы. Вы не смешиваете бетон, добавляя случайное количество цемента и песка. Вы отмеряете все точно. Вы не берете несущие балки, отрезанные на глаз. Пословица «семь раз отмерь, один раз отрежь» отражает эту необходимую точность. Чертежи не бывают двусмысленными, открытыми для толкований или ироничными. Нет! Дом строят из конкретно, точно и аккуратно выпиленных досок и понятных материалов.

Grundlagen der Arithmetik

Фреге считал, что математике, как и архитектуре, нужен чертеж, и его 1879 года «Исчисление понятий» стало таким чертежом. Она описывает точный, последовательный символический язык, напоминающий Lego, который позволяет механически соединять утверждения в математические доказательства. Фреге был убежден, что его новая запись понятий станет «надежным способом проверять связи в цепочках умозаключений», говорил он, «и выявлять каждое предположение, могущее прокрасться незамеченным с тем, чтобы можно было обнаружить его источник».

Его работа имела ошеломительный успех, по