Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

сути, основав современную математическую логику, и многие, по словам современного немецкого математика Фолькера Пекхауса, до сих пор считают ее революцией. Некоторые называют Фреге «основателем современной логики», хотя другие отдают должное более раннему британскому математику Джорджу Булю, чья знаменитая книга 1847 года «Математический анализ логики» породила булеву логику. Но там, где Буль применил математику к логике, Фреге применил логику к математике. По этой причине некоторые считают его величайшим логиком после Аристотеля. В 1960-х историк математики Жан ван Хейенорт, размышляя о «Исчислении понятий», скажет просто, что эта книга – «самая важная работа по логике, из когда-либо написанных».

Сказать по правде, к книге Фреге трудно подступиться. Нотация в ней очень странная. Он использует двумерную запись, где линии и буквы разбросаны по всей странице. Неэкономно. Сложно. Громоздко. Страницы книги больше похожи на испорченные эскизы татуировок, чем на правильные математические доказательства. Логика может быть элегантной, но способ записи – нет. Его визуальная система – проклятие для издателей, хотя Фреге это мало волнует. «Удобство наборщика – это определенно не summum bonum („высшее благо“)», – говорит он.

Фреге убежден, что с помощью его системы всю математику можно свести к прочному фундаменту логики. Это приводит к созданию другой книги, опубликованной в 1884 году, – «Основоположения арифметики» (Grundlagen der Arithmetik), где он применяет свою систему к базовым понятиям, например к определению числа. Фреге первым показал, как простейшие объекты математики, вроде чисел, можно вывести исключительно из логики, используя лишь несколько простых функций типа «и» и «или».

«В некотором смысле, – заявит американский математик Фрэнк Десуа в 1954 году, – Фреге можно назвать первым человеком в истории, который узнал, чем на самом деле является число».

Это звучит очень странно. И это действительно так. Работа Фреге странна по той же причине, по которой странна задача об укладке апельсинов – старая проблема, известная как гипотеза Кеплера, о самом эффективном способе укладки сферических объектов. Она сбивает с толку, потому что ответ на этот вопрос прост (любой работник овощного отдела скажет вам, как лучше укладывать фрукты). Но решить эту задачу математически очень трудно – настолько, что она вошла в число 23 проблем Гильберта, представленных в Париже в 1900 году. (А когда в конце 1990-х математик из Мичиганского университета Томас Каллистер Хейлз попробовал опубликовать свое 250-страничное доказательство, математическое сообщество пребывало в растерянности, не зная даже, с чего начать рецензирование.)

Задача об укладке апельсинов

Я воспринимаю вопрос Фреге «Что есть число?» и гипотезу Кеплера об укладке апельсинов как примеры логического упущения, которое называю «заблуждением о незначительности результатов»: чем очевиднее кажется ответ, тем менее важным представляется решение. Зачем нужны гении, суперкомпьютеры и длинные, непонятные доказательства, чтобы сказать нам то, что мы и так знаем – или что может сказать любой продавец в овощном отделе? Еще меньше людей спросят: «Что такое число?» В нашем современном мире вопросов «какое мне до этого дело?» и «что мне от этого?», мало кого волнует этот вопрос, не говоря уже о поиске строгого доказательства. Что такое число?! А как насчет: что такое средний палец? Спасибо, что потратил мое время, гений!

Но заблуждение о незначительности – не главная проблема Фреге. Его работа, как и работа Кантора, – одна из самых новаторских в столетии. Теория множеств Кантора ввела концептуальную систему, позволившую по-новому взглянуть на математику, а формальный язык Фреге дал возможность применить чистую логику к самым ее основаниям. Бертран Рассел несколько лет спустя назовет это «технической гибкостью и логической завершенностью, что, конечно же, существенно для любого математического инструмента, предназначаемого для исследования того, что мы до настоящего времени имели в качестве начал математики».

И все же, как и у Кантора, в работе Фреге кроются намеки на грядущую трагедию. Всего через несколько лет Фреге станет блестящим неудачником – даже в момент своего величайшего триумфа. В его тщательно выстроенной системе есть изъян. Фундаментальный изъян, который скоро обнаружит Рассел. И Фреге увидит, как его труды рассыпаются в прах.

Мне нравится представлять Фреге как вывернутого единорога – существо, известное скорее дырой, чем рогом.

Полуживой от голода

Когда в 1899 году Берти и Элис возвращаются из путешествия по Соединенным Штатам, на мировой арене разворачивается военно-политический кризис: Англо-бурская война – та самая, что побудит королеву Викторию совершить в 1900 году поездку в Ирландию в траурном облачении. Одной из сторон войны является Британская империя, контролирующая значительную часть Южной Африки и владеющая двумя большими колониями в регионе: Капской колонией на южной оконечности материка и прибрежной колонией Наталь к северо-востоку от Кейптауна. Вне сферы британского влияния находятся две внутриконтинентальные страны, управляемые преимущественно потомками голландских переселенцев, – независимые нации Трансвааль и Оранжевое Свободное Государство.

Корни конфликта уходили почти на столетие тому назад, к Наполеоновским войнам, когда принц Оранский бежал в Англию. Это изгнание позволило Британии перед битвой при Ватерлоо заявить права на голландские колонии, завершив 150 лет голландского правления в регионе. Независимые потомки первых поселенцев, называвшие себя бурами (на африкаанс – «фермеры»), с самого начала тяготились британским господством.

Чаша терпения переполнилась 1 декабря 1830 года, когда Британия отменила рабство. Тысячи буров снялись с мест, погрузили скарб в фургоны и ушли на север, основав Оранжевое Свободное Государство и Трансвааль. К концу XIX столетия они были двумя из всего четырех стран на всем континенте, избежавших прямого европейского господства. Этот «Великий трек» 1830-х стал краеугольным камнем бурской культуры, символом их тяги к странствиям и готовности с оружием в руках отстаивать свободу. Это определило их суровый быт: они были на одну часть поселенцами и на девять частей – выживальщиками. Дети с ранних лет учились стрелять, бегать, охотиться, прятаться, ездить верхом и выживать. За Великим треком последовали 50 лет медленных, то затухающих, то вспыхивающих конфликтов между британцами и бурами – серия драм, продиктованных и часто разжигаемых наличием богатых минеральных ресурсов, начиная со случайного открытия крупнейших в мире месторождений алмазов в 1867 году.

История забыла имя фермера, который в 1860-х бродил по берегу реки у своего ранчо, подбирал красивые камни и складывал лучшие образцы в миску на кухонном столе. Но она помнит имя человека, который понял истинную суть этих камней – огромных необработанных алмазов. Джон О’Рейли, странствующий торговец, остановился на ферме покормить скот, увидел миску и заметил среди породы самый крупный алмаз, какой ему доводилось видеть, – «палец», выражаясь языком кровавых алмазов. И он тут же уговорил фермера расстаться с этим состоянием.

Известие об этом открытии привело к новым находкам, таким как еще более массивный необработанный алмаз весом 84 карата, позже названный «Звездой Южной Африки», который удачливый пастух, выкопавший его, обменял на 500 овец, 10 быков и лошадь. (Позже он