Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

платками. Другие стоят вдоль стен. Все ожидают очередного погружения в геометрические дебри. Возможно, он опишет историю создания своих «Оснований геометрии». Возможно, поговорит о чем-то другом. Кто знает? Название лекции простое: «Математические проблемы» (Mathematische Probleme).

Только один человек в мире точно знает, о чем будет говорить Гильберт, – его хороший друг Герман Минковский, еще одна математическая легенда.

Учитель физики у Эйнштейна

Еще подростком Минковский выиграл крайне престижную математическую награду Французской академии наук за работу о сложных функциях, известных как квадратичные формы. В то время вручение вызвало скандал, так как французы присудили премию совместно ему и Генри Джону Стивену Смиту – английскому математику, который был намного старше и авторитетнее. Смит работал над этими квадратичными формами много лет, еще до рождения Минковского, поэтому необходимость делить премию казалась досадной, если не оскорбительной. Учитывая специфику англо-французских отношений в XIX веке, в Академию была подана официальная жалоба, которую там благополучно проигнорировали.

Но еще большую известность Минковский обретет через несколько лет, заслужив уникальный статус учителя физики Альберта Эйнштейна. Впрочем, он и сам по себе гений. Любой, кто касался специальной теории относительности, знает его имя. Математическое описание четырехмерного мира часто называют «пространством-временем Минковского» в честь его вклада. Его видение пространства как четырехмерного «многообразия», включающего время, – это достижение, которое навсегда свяжет Минковского со всеми странными и чудесными результатами специальной теории относительности его ученика. Сокращение длины и замедление времени, при которых воображаемый космический путешественник мог бы полететь со скоростью 99,9 % скорости света к далекой звездной системе и вернуться через несколько лет, обнаружив, что его близнец постарел на десятки лет, – это красивые следствия данной трактовки методами дифференциальных уравнений.

Сегодня, в этот жаркий августовский день 1900 года, Минковский, уже в статусе полного профессора, находится в предвкушении. Несколько недель назад он узнал, о чем его друг Гильберт намерен говорить в Париже. План выступления прост. Вот несколько захватывающих проблем, говорит Гильберт. Теперь решите их! Услышав об этом, Минковский был просто ошарашен Гильбертом. Он в восторге. «Это сделает тебя знаменитым, – уверяет он Гильберта. – Это будет лекция, которую все ждали, даже не подозревая об этом». «О твоем выступлении будут говорить десятилетиями», – сказал ему Минковский перед началом.

«Математические проблемы» в названии доклада – это не то, что Гильберт или кто-то другой недавно решил. Речь пойдет не об уже сделанном, а о том, что предстоит сделать. Не просто о задачах, а о масштабных задачах – о дилеммах, которые терзали математиков годами. Об узлах, что сковывали науку десятилетиями, а то и веками. О каверзных математических казусах, которые отчаянно требуют разрешения. Он будет говорить о трудных проблемах – и чем труднее, тем лучше. «Математическая проблема должна быть трудной», – заявляет Гильберт с трибуны.

Позже журнал Nature напишет, что он выбрал эти проблемы, потому что они «бросают вызов» и позволяют заглянуть в математическое будущее. Решение этих задач, пишет Nature, «вероятнее всего, принесет огромную пользу», двигая науку вперед.

И Минковский прав, предсказывая успех выступления. Это математическое событие года. Десятилетия. Века – девятнадцатого, двадцатого, двадцать первого или всех трех сразу. Возможно, это лучший доклад тысячелетия. Позже некоторые назовут его самым важным выступлением математика во всей мировой истории. Он поражает десятки людей в зале и восхищает миллионы тех, кто прочтет о нем после. Любой, кому посчастливилось присутствовать там, запомнит это на всю жизнь. Это триумф, ломающий стереотипы, переворачивающий сознание и определяющий будущее, – триумф, бьющий наповал.

Двадцать три проблемы

Многие по сей день считают эту лекцию одним из величайших достижений Гильберта – удивительное утверждение, если учесть, сколько важных оригинальных идей он внесет в математику в грядущие десятилетия. Его именем названы десятки концепций, используемых сегодня: гильбертовы пространства, неравенства Гильберта, преобразования Гильберта, инвариантные интегралы Гильберта, теорема Гильберта о неприводимости, аксиомы Гильберта, гильбертовы поля классов и многое другое.

За следующие 30 лет у Гильберта защитятся около 40 докторантов. Для многих из них он останется самым великим математиком в их жизни. Взять хотя бы немецкого физика Макса фон Лауэ. Он ставил гений Гильберта выше своего собственного, хотя сам в 1914 году получил Нобелевскую премию за открытие дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Это открытие породило структурную биологию и химию и легло в основу современных методов создания лекарств. Но при всем своем блеске и успехе фон Лауэ признавал истинным гением именно Гильберта. «В моей памяти он остался, пожалуй, величайшим гением, которого мне довелось лицезреть», – говорил он.

Друзья и ученики говорили, что над Давидом Гильбертом никогда не заходит солнце, – и восход начался именно тем знойным утром в Париже.

* * *

Влияние речи Гильберта трудно преувеличить. В начале 1970-х Американское математическое общество провело целый симпозиум в Университете Северного Иллинойса, посвященный наследию этих проблем (изначально их было 10, но ко времени публикации статьи несколько месяцев спустя список расширился до 23). Итог конференции в Де-Калбе: проблемы породили «изобилие» новых методов и открытий. Именно этого Гильберт и добивался.

Сегодня, по сути, большинство его проблем решены – или же доказано, что они не имеют решения. Один из учеников Гильберта представил первое решение одной из 23 проблем спустя всего пару месяцев после лекции – это была сложная гипотеза о том, как разрезать тетраэдр, чтобы превратить его в куб. В последующие десятилетия решалось все больше проблем. Истории некоторых решений очень увлекательны. Вот несколько примеров.

Тринадцатая проблема Гильберта покорилась группе советских математиков, включая Владимира Игоревича Арнольда, который в послевоенные годы был 19-летним студентом МГУ. Эта проблема ищет нечто похожее на решение квадратного уравнения, но применимое ко всем многочленам, а не только к функциям двух переменных. Ее решение стало пропагандистской победой Советского Союза и подняло авторитет Арнольда – по крайней мере, на первых порах. Позже, в 1960-х, он впадет в немилость властей, когда подпишет письмо в защиту диссидентов. (Кстати, современный постскриптум: недавно к проблеме вернулся один тополог из Чикаго, который утверждает, что на самом деле она до сих пор не решена.)

К решению 10-й проблемы Гильберта после Второй мировой войны подступилась группа, в которую входил Хилари Патнэм – философ, который позже прославится идеей о влиянии контекста на коммуникацию. Будучи студентом-математиком, он участвовал в попытках решить эту задачу: существует ли общий алгоритм для решения определенных алгебраических проблем, названных в честь древнего математика Диофанта. Им не хватило совсем чуть-чуть. Позже, в 1960-х, Патнэм станет «хиппи-интеллектуалом», будет жить в коммуне, организовывать протесты против войны во Вьетнаме и увлекаться коммунизмом. А когда в 1970 году российский математик Юрий Матиясевич действительно решит 10-ю проблему, Патнэм напишет предисловие к его книге.

В 1997 году математик из Мичиганского университета