Алексей Хвостенко и Анри Волохонский - Илья Семенович Кукуй

то есть октава. В идеальном виде 1/5 ∙ 5/1 = 1/1, идеальная октава. Обратим внимание, что нет смысла говорить, какое там отношение идеальная квинта, а какое – идеальная кварта, 3/1 или 1/3. Оба числа могут быть с равным успехом и квинтой и квартой. Это свойство идеальных отношений является результатом того, что мы замкнули октаву, превратив ее из отрезка спирали в подобие круга. А такое превращение позволит нам легко осуществить деление октавы на любое число частей. Это число должно быть достаточным для музыки. Звуки должны быть распределены более или менее равномерно. Не должно быть случаев приближения одного звука к другому при слишком больших интервалах рядом.

Пифагорейская октава

Построим ряд идеальных тонов 1., 3., 9., 27., 81., 243., 729. Его использовали в неявном виде для деления октавы последователи Пифагора. Этот ряд содержит идеальные квинты или кварты (1/3) между соседними звуками; идеальные большие тоны (1/9), если брать через один звук; идеальные интервалы, близкие к большой и малой терции (1/27 и 81/1), и другие. Идеальная пифагорейская октава может выглядеть, например, так:

243. 1. 9. 81. 729. 3. 27. 243.

Идеальные полутоны (1/243) располагаются здесь между 243. и 1. и между 729. и 3. Прочие интервалы между соседними звуками составляют идеальный тон (1/9). В реальной форме, при расположении звуков от высоких к более низким, эта октава выглядит как

486. 512. 576. 648. 729. 768. 864. 972.

и весьма близка к системе звуков белых клавиш современных инструментов:

до си ля соль фа ми ре до

Полутоны (256/243) находятся в ней как раз между 486. и 512. (до и си) и между 729. и 768. (фа и ми), а прочие интервалы между расположенными рядом звуками равны тону (9/8). Если отсчитать в этой октаве пятый тон от нижнего до, считая до первым, получаем квинту соль. Считая от соль к верхнему до, получаем кварту. Считая от до к ми, получаем терцию (32/27), и т. д. Традиционные названия интервалов, таким образом, могут быть выведены из свойств этой октавы: квинта – пятый звук по порядку, кварта – четвертый, терция – третий. Октава, как показывает ее название, является здесь восьмым звуком. Пифагорейскую октаву можно было бы дополнить еще пятью звуками, в идеальном виде – степенями числа 3 (от 37 до 311), которые должны дать полутоны на месте черных клавиш в реальной октаве. Необходимо указать, однако, что неточное значение терций (32/27, а не 6/5, и 81/64, а не 5/4) представляет собой очевидный существенный недостаток пифагорейской системы звуков.

Система трезвучий

Попробуем теперь ввести идеальный тон 5. Сразу же обнаруживается идеальное трезвучие 1., 3., 5. Оно служит основой реального минорного трезвучия 3., 4., 5. или 4., 5., 6. и состоит из квинты или кварты, большой терции и малой терции или соответствующих секст. С другой стороны, мажорное идеальное трезвучие, построенное из тех же отношений, что и минорное (1/3, 5/3 и 5/1), состоит из трех идеальных тонов 3., 5., и 15. Разница между трезвучиями в том, что в минорном каждый звук вступает в отношения лишь в одном качестве (например, как 1., который входит в отношения 1/3 и 1/5), а в мажорном каждый звук играет двоякую роль (как звук 3., который может войти в отношение 1/5 со звуком 15. и 3/5 со звуком 5.; или звук 5., находящийся в отношении 1/3 со звуком 15. и 5/3 со звуком 3.)

Расположив звуки обоих трезвучий на горизонталях, кратных 1. и 5., получаем следующую картину:

Воображаемые горизонтальные линии здесь соответствуют идеальной квинте, вертикальные – идеальной большой терции, а диагональ от 5. к 3. – идеальной малой терции.

Пристроим к этому малому квадрату по такому же квадрату справа и снизу и замкнем четвертый квадрат звуком 225.:

Здесь мы обнаруживаем идеальные отношения, равные большому и малому тону (1/9 и 5/9) и большому и малому полутонам (1/15 и 3/25).

Если мы проведем сходную операцию со средним квадратом, то получим большой квадрат (см. таблицу 1).

В центре квадрата обнаруживается число 225. Мы примем его за начало октавы, то есть за ноту c или до, и разделим все числа, составляющие большой квадрат, на 225. Получим следующие идеальные отношения:

Умножая или деля каждое из идеальных отношений на степень числа 2 так, чтобы получились значения от 1 до 2, находим следующие реальные тоны (таблица 2).

Рассматривая таблицу реальных тонов, можно обратить внимание, что в центре поставлено два числа: 1. и 2. Это и есть границы октавы. Кроме того, следует указать, что числа в пятом столбце лишь на 81/80 превышают числа в начале следующего ряда (имеется в виду отношение 36/25 к 64/45 и прочие подобные). Так как отношение 81/80 весьма мало, числа пятого столбца будут играть вспомогательную роль, а потому заключены здесь в скобки554.

Таблица 1. Идеальные тоны в большом квадрате

Таблица 2. Тоны октавы в большом квадрате

Итак, рабочая октава может быть разделена лишь на 20 частей, а не на 25. Покажем сначала, как выглядят семь основных звуков нашей октавы, то есть белые клавиши обычных инструментов. В третьей строчке написаны значения интервалов между соседними звуками белых клавиш:

Мы видим, что распределение тонов и полутонов между белыми клавишами здесь совпадает с традиционным. Сложнее обстоит дело с черными клавишами.

В нашей рабочей октаве между двумя звуками в интервале, равном большому или малому тону, вставлено по два звука, один из которых является повышенным от более низкого (то есть диезом, #; 71 или 92 цента), а другой – пониженным от более высокого (то есть бемолем, b; те же значения). Между звуками, находящимися в интервале в большой полутон, вставлено лишь по одному звуку, который должен служить одновременно бемолем и диезом. Как видно, во всех случаях значение бемоля или диеза превышает или равно интервалу в малый полутон (25/24; 71 цент) за исключением си- и ми-диеза, положение которых совпадает с до- и фа-бемолями. Ввиду того, что интервалы между до и си и между фа и ми составляют большой полутон 16/15, полноценные бемоли от до и фа равны здесь малому полутону 25/24, а оставшаяся часть интервала к