Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

class="p1">Когда я был подростком, мы с отцом были фанатами ныне покойного великого Мануте Бола, суданского стартового центрового команды НБА «Вашингтон Буллетс» (сейчас «Уизардс»), рост которого составлял 2 метра 31 сантиметр. Я любил Бола по той же причине, по которой люблю Эпименида. «Буллетс» выбрал его на драфте в 1985 году и выставлял напоказ почти как диковинку в «цирке уродов», ставя рядом с разыгрывающим Магси Богзом (ростом 160 см) – самый высокий и самый низкий игроки НБА, плечом к плечу. Но этот рекламный трюк был лишь приманкой для глаз. Больше всего в Боле я люблю то, что он был «единорогом» – поистине великим в одном узком смысле: он был мастером блок-шотов, не похожим ни на кого, кого когда-либо видел мир. Легенда. Лучший в истории! Он до сих пор удерживает несколько рекордов НБА по блок-шотам, включая уникальное достижение, которое, скорее всего, никогда не будет повторено в спорте: он единственный игрок в истории баскетбола, записавший на свой счет больше блоков, чем очков за карьеру.

Точно так же Эпименид – единственный философ в истории, который больше известен ложью, чем истиной. И это не единственная странность, с ним связанная. Говорили, что он умел астрально проецировать свой дух, покидая тело. Говорили, что он дожил до 300 лет – очевидная ложь сама по себе. Однажды он якобы проспал 57 лет подряд. А когда он наконец зашевелился и проснулся, первое, что он произнес, было классической логической остротой, благодаря которой он навеки остался знаменитым: «Все критяне – лжецы!»

Согласно апостолу Павлу в Новом Завете, точные слова Эпименида были такими: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые». Эти слова нашли живой отклик у Павла и христиан, прозвучав как евангельская проповедь, осуждающая все самое гнусное в людях: обман, порочность, чревоугодие и ужасное скотское поведение злых людей по сравнению с праведниками.

Но с веками высказывание Эпименида приобрело дополнительный смысл, став известным как парадокс лжеца – алогичный оборот, равносильный фразе: «Истинно, что это утверждение ложно». Это делает парадокс лжеца очень близким к парадоксу Рассела в том смысле, что это утверждение истинно тогда и только тогда, когда оно таковым не является.

Трудно судить, был ли Эпименид праведником или грешником на самом деле. Да и вообще, существовал ли он? Возможно, он был легендой. Сказкой на ночь, которую старые математики рассказывали своим маленьким логикам. Возможно, он был собирательным образом, сотканным из разных историй о разных людях древности. Его 57-летний сон наводит на мысль, что это могли быть разные люди, своего рода античный «ужасный пират Робертс»: не один Эпименид, а несколько, где каждый играл роль какое-то время, а затем продавал титул другому, когда старый Эпименид уходил на покой. (Вполне в духе лжеца.)

Есть некая ирония в том, чтобы считать Эпименида «набором лжецов», потому что главный прорыв Рассела случился, когда он начал рассуждать именно в этом ключе: рассматривая не Эпименида как личность, а Эпименида как тип. Размышления о «порочном круге» Пуанкаре приводят Рассела к разработке его «разветвленной теории типов» – его решения собственного же парадокса.

Теория типов

Эта теория типов – один из величайших вкладов Рассела в математическую философию, и она служит краеугольным камнем «Оснований математики». По сути, она устраняет парадокс Рассела, меняя правила игры и позволяя его избежать. Каким образом? Вдохновленный критикой Пуанкаре относительно порочного круга, Рассел понимает, что большинство парадоксов в математике возникают из-за некой сбивающей с толку самореференции. Поэтому он стремится покончить с этим одним махом, разделяя логические высказывания, содержащие объекты и отношения, на иерархию различных классов. Рассел накладывает эту иерархию типов на множества и формулирует то, что он начинает называть принципом порочного круга: никакие множества, классы или типы не могут иметь членов, определяемых через них самих. Всякий данный тип должен определяться исключительно в терминах более низких типов.

Это означает, что брадобрей, который бреет всех, кто не бреет себя сам, относится к более высокому типу, чем его клиенты (не в плане социально-экономического статуса, возможно, но как определенная категория – в отношениях мастера и клиента). Сам брадобрей – это всегда тип «брадобрей» и никогда – тип «клиент». И он является брадобреем в силу того факта, что он бреет их, а не себя. Теория типов Рассела утверждает, что брадобрей не является частью группы побритых, потому что он «не их типа» – по крайней мере, не в своей собственной цирюльне. То, что брадобрей делает дома в собственной ванной, не имеет значения (разве что для партнера брадобрея). Бреет ли он себя или нет, но в любом случае он никогда не является частью множества побритых в цирюльне.

Это позволяет избежать парадокса, потому что по-прежнему можно утверждать, что брадобрей бреет всех, кто не бреет себя сам. Вопрос о том, означает ли это, что он бреет себя, становится бессмысленным, так как теория типов, по сути, переформулирует роль брадобрея: он бреет всех остальных, кто не бреет себя. Говоря более обобщенно, к брадобрею предъявляются два критерия: во-первых, он бреет каждого, кто не бреется сам, и, во-вторых, любой, кого он бреет, никогда не бреет никого другого в цирюльне. Технически говоря, любое выражение, содержащее переменную, само по себе является типом более высокого порядка, чем эта переменная, утверждает Рассел, тем самым избегая собственного парадокса.

Возьмем пример с Эпименидом. В формулировке Рассела тип «Эпименид», к которому он обращался, произнося знаменитую фразу «Все критяне – лжецы», в рамках иерархии типов фактически не включал бы самого Эпименида. Это больше похоже на то, если бы он сказал: «Все эти критяне – лжецы». Помещая Эпименида или брадобрея на более высокий пьедестал, Рассел избегает парадокса.

Однако это странное решение – вымученный «хак», призванный любой ценой избежать самореференциального противоречия. Но оно работает и достигает цели, той цели, которую ставит перед собой Рассел. Его теория типов не допускает класса всех возможных классов или множества всех множеств, а вместо этого вводит иерархию классов, которые не могут быть членами самих себя. Это своего рода триумф, поскольку он устраняет логическое противоречие, тормозящее науку. Но из-за того, что Рассел перекраивает базовые определения ради искусственной заплатки, его результат также воспринимается как «довольно неуклюжая реконструкция математики», по словам современного американского философа Паоло Манкозу. Математик Канамори называет теорию типов Рассела громоздкой и неприглядной: «пугающая симметрия, навязанная ловким плутом».

* * *

Претензии к «громоздкости и неприглядности» теории возникли не на пустом месте: теория типов требует от Рассела ввести в основания математики еще три новые «аксиомы-карт-бланша», чтобы перестроить ее на твердой почве. Проблема в том, что неясно, могут ли