Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

освободить от парадоксов, и Рассел считает, что он именно тот человек, который это сделает. И почему бы нет? Он обладает огромным влиянием. Он распространит это влияние и наполнит область своей позитивной энергией. Он не один такой. Другие последуют за ним, он в этом уверен. И он не ошибается. Всякий серьезный подход к теории множеств в современном мире уходит корнями в попытки решить парадокс Рассела, пишет ученый Кевин К. Клемент в эссе 2007 года под названием «Новый век в жизни парадокса».

Но Рассел все же не прав. Точнее, не совсем прав.

Математика, мир, любовь и ужас

Есть еще одна вещь, корни которой уходят в глобальную реакцию на парадокс Рассела, – это супружество Элис и Берти. Я прочел множество формулировок парадокса Рассела, пока писал эту книгу, и, пожалуй, лучшая принадлежит покойному математику Джорджу Булосу, который в 1998 году опишет парадокс наиболее лаконично: оно есть тогда и только тогда, когда его нет.

Это описание прекрасно подходит и к супружеству Берти с Элис. После 1901 года оно трещит по швам. И все же они годами будут влачить существование в этом мучительном формальном союзе в духе «Остатка дня». После своего обращения в пацифизм Рассел прямо заявляет Элис, что не любит ее. Это становится одним из тех отношений, где главное – терпеть, а не любить. «Это нельзя назвать жизнью, ибо это не она», – как сказал однажды американский поэт Роберт Фрост. Он говорил о нищете в сельской Новой Англии, а не о браке, но это тот же самый холодный, бесплодный пейзаж. Брак Расселов – это замерзшее, полуголодное существо зимой. Хорошие заборы – хорошие супруги!

Остыв к Элис, Бертран Рассел стал вести себя странно. Он полон сострадания к человечеству, но его переполняет ненависть к самому себе. А еще он до краев наполнен логикой, что делает его вдвойне толстокожим. Логикам вообще нигде не бывает легко. Его подруга Беатрис Вебб говорит, что он верит в абсолютное. «Абсолютная логика, абсолютная этика, абсолютная красота, и все самого утонченного и редкого типа, – говорит она. – Высказывание должно быть истинным или ложным, характер – хорошим или плохим, человек – любящим или нелюбящим, говорящим правду или лгущим». Для него существует только два типа понимания. Есть убеждения, полученные путем умозаключения, выведенные из данных и свободные от предрассудков. Истинные убеждения. И есть второй тип понимания, который, по его словам, «не получен ни путем умозаключения, ни анализом воспринимаемых фактов». Другое название для этого типа веры, говорит он, – предрассудок.

В этом отношении Рассел смотрит сквозь розовые очки. Тот факт, что выведенные убеждения свободны от предрассудков и получены путем взвешивания фактов и данных, не обязательно означает, что они истинны. Это снова «ловушка показателей процесса», хотя и немного иного толка – не столько риск игнорирования результатов ради чистых показателей процесса (как в случае, когда британцы строили концентрационные лагеря во время Бурской войны). В математической философии Рассела это, скорее, опасность выведения результатов основываясь лишь на показателях процесса.

Например, если бы вы хотели узнать, что происходило на пляже жарким летним днем, вы могли бы проанализировать облако слов из собранных наблюдений, таких как {{подростки}, {смех}, {брызги}, {плеск}, {волны}}. Из этих данных можно вывести глагол «плавать». Это совершенно логично, но вывод не обязательно верен. Все данные могут быть истинными и правильно взвешенными, но их значение все равно может быть неоднозначным. Эти слова могли описывать группу подростков из клуба бегунов. Они могли бежать трусцой по пляжу в полосе прибоя, находясь в воде лишь по щиколотку. Тогда правильным глаголом был бы «бегать». Точно так же и убеждения, полученные на основе предрассудков, не обязательно истинны.

* * *

Принимая абсолютную логику, Рассел стремится открыть самодостаточное множество высказываний, достаточных для того, чтобы утвердить логические основания математики – это его высшая форма истинной веры. И этому стремлению способствует успех его «Принципов математики» 1903 года. «Ясное и хорошо написанное изложение», – говорит о книге один из рецензентов того времени.

Однако не все в восторге. Другие рецензии звучат более уничижительно. «Изложение поспешное и часто вырождается в голое повторение взглядов мистера Рассела, – пишет другой критик. – Часто к тому же они неубедительны, догматичны или поверхностны». Никто не назовет следующую книгу Рассела поверхностной.

Еще до публикации «Принципов математики» в 1903 году Рассел и Альфред Норт Уайтхед решают совместно работать над трудом, призванным продвинуть их особое философское и математическое мировоззрение, известное как логицизм, – идею о том, что математика основана на логике или что математическая истина и логическая истина – это одно и то же.

Странно видеть, что Уайтхед вообще включился в этот проект. Когда они начинают, он уже глубоко погружен в собственную книгу – второй том, продолжение его труда по универсальной алгебре, опубликованного несколькими годами ранее. К моменту начала работы над «Принципами математики» Уайтхед уже несколько лет пишет свою новую книгу. Он продвинулся так далеко, что Рассел боится, что тот откажется сотрудничать. Но Уайтхед говорит «да». Он хочет сотрудничать. Они оба из Тринити-колледжа в Кембридже (Уайтхед на несколько лет старше). Они друзья. Они вместе ездили в Париж в 1900 году и были на встрече, где Гильберт читал доклад о 23 проблемах. И они образуют свое собственное маленькое «множество пар» – два мужа, две жены.

Как только Уайтхед присоединяется, Рассел ликует. «К моей великой радости, он согласился», – говорит Рассел. Но ни один из них не имеет понятия, что их ждет. Лишь малый уголок вселенной логики был исследован с древних времен, напишет позже Рассел. За 2 тысячи лет – со времен Аристотеля – до XIX века никто не делал в логике ничего по-настоящему оригинального. Но подход с использованием символов в логике, пионерами которого стали Буль, Фреге и Пеано, меняет правила игры. Теперь Рассел и Уайтхед хотят пойти дальше. Они хотят в полной мере развить «логицизм» и вывести обычную математику из логики.

Principia Mathematica

Суть логицизма в том, что логика лежит в основании математики – что арифметика, алгебра, чистый анализ, геометрия и все остальные области всегда возвращаются к ней. На практике это означает, что любое понятие, доказательство или аксиома в математике могут быть определены с использованием комбинаций лишь самых примитивных предикатов логики (таких вещей, как «и», «или», «не»).

В своей работе Рассел и Уайтхед пошли по стопам Фреге. Они определяют примитивные понятия и высказывания математики с помощью логики, а затем выводят высшие математические теоремы, используя те же самые высказывания. Они совмещают этот подход с более удобной, пусть и все еще несколько эзотерической нотацией Пеано (в отличие от странностей Фреге, напоминающих дизайн плохой татуировки). Подход кажется понятным, хотя это