Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

само понятие математического существования. Парадокс Рассела подразумевает, что вещь может быть и не быть одновременно. Но если математический объект может существовать и не существовать одновременно, значит, теория множеств противоречива. Это означает, что математическая система Фреге противоречива. И это вполне может означать, что порочна сама базовая логика.

Все это имеет ужасные последствия для математического ума, и в первую очередь – для ума Фреге. Логическая противоречивость – это криптонит для математической истины. «Худшее, с чем может столкнуться математик», – напишет швейцарский математик Ролен Вавр в 1934 году. Когда система непротиворечива, истина и ложь остаются в своих границах. Вы никогда не должны иметь возможности доказать, что нечто истинно, когда на самом деле оно ложно, или наоборот. И когда ваша система непротиворечива, вы просто не можете этого сделать.

Подумайте об этом так: мы знаем, что 0 = 0 и 1 = 1. Никогда, даже за тысячу лет, используя все математические инструменты и всех экспертов, которые когда-либо жили, вы не смогли бы доказать, что 0 = 1.

Извинения Эрнсту Цермело

Эта идея древняя. Это действительно один из самых фундаментальных принципов логики, восходящий к древнеиндийским философам, а также к классическим досократикам, таким как Парменид, учитель Зенона Элейского – того самого, что известен историей о черепахе, побеждающей Ахиллеса. Это называется Законом непротиворечия. Согласно Платону, который дает классическое определение, закон просто гласит, что A и A (не A) не могут быть истинными одновременно.

Выявив противоречие, в котором A и A оба истинны, парадокс Рассела переворачивает все с ног на голову. Это взлом и снос оснований логики Фреге. Он обнажает «бомбу замедленного действия, тикающую в сердце математики», как напишет биограф Бертрана Рассела Рональд Кларк после его смерти.

Стоит отметить: многие настаивают, что Рассел не заслуживает всей славы за свой собственный парадокс. И они не ошибаются. Немецкий математик Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело открывает его независимо примерно в то же время, и это доказуемо, поскольку он сообщил об открытии в письме Давиду Гильберту. Кстати, это дало некоторым повод утверждать, что парадокс Рассела на самом деле должен называться парадоксом Рассела – Цермело. Для этого есть веские основания, и я признаю здесь параллельное открытие Цермело. Но большинство людей, похоже, называют его парадоксом Рассела, поэтому я выбираю этот ярлык. (Прости, Цермело!)

Но не будем пока прощаться с Цермело. Этому человеку мы должны еще одно извинение. Не называйте парадокс «парадоксом», настаивает Цермело. Вместо этого он предлагает говорить об «антиномии», подразумевая под ним неразумное противоречие между двумя в равной степени разумными убеждениями. Слово «парадокс» недостаточно, утверждает он, поскольку «оно не содержит в себе ничего от внутреннего противоречия».

И так же, как в математической литературе встречаются источники, называющие это парадоксом Рассела – Цермело, попадаются в ней и те, кто послушно использует термин «антиномия». Но когда я вижу это слово, мой взгляд тускнеет. Оно звучит вяло. Это неудачный ярлык. Провальный брендинг. Подражая на мгновение горестным стенаниям Бертрана Рассела, скажу: каждый раз, когда я вижу этот термин, я искренне желаю, чтобы меня переехал поезд. Как убежденный сторонник простого языка, я могу сказать вам, почему этот термин так и не прижился. У каждого есть хоть какое-то понятие о том, что такое парадокс, пусть даже неверное, но я сомневаюсь, что хотя бы один из ста сможет сказать хоть слово об антиномии. Поэтому, вновь признавая величие Цермело, я тем не менее игнорирую его высшую мудрость. (Снова прости, Цермело!)

Omni copia paradoxon

Представьте спектр эмоций на лице Фреге, когда он читает письмо Рассела. Интрига. Восторг. Пауза. Удивление. Тревога. Гнев. Печаль. Шок. «Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее изумление и, я бы сказал, смятение», – наконец отвечает Фреге Расселу. И это еще мягко сказано. Некоторые источники уверяют, что Фреге был сражен наповал. И неудивительно. «[Ваш парадокс] пошатнул основания, на которых я намеревался построить арифметику», – пишет он Расселу. Другими словами: «Премного благодарен; вы только что уничтожили последние 20 лет моей жизни!»

Представьте, что вы работаете большую часть сознательной жизни ради одной цели, а затем, в возрасте 54 лет, какой-то сопливый юнец 20 с лишним лет выбивает у вас почву из-под ног. Фреге понимает неизбежное. Он отдает должное письму Рассела, добавляя послесловие к своей третьей книге. Но у него нет ни мужества, ни воли идти дальше. «Ученому вряд ли может встретиться что-либо более нежелательное, чем когда фундамент рушится в тот момент, когда работа уже закончена, – пишет он в своей книге. – В такое положение я был поставлен письмом от мистера Бертрана Рассела, когда книга уже почти вышла из печати». Рассел искренне впечатлен тем, как достойно Фреге принимает удар. «Стоять на пороге публикации второго тома великого труда всей жизни и увидеть, как все это перечеркивается в одну секунду гораздо более молодым математиком… – пишет Рассел коллеге. – В этом было что-то сверхчеловеческое».

* * *

Сложности с основаниями математики не ограничиваются парадоксом Рассела. Совокупный эффект всех парадоксов вместе бросает тень сомнения на убедительность современной математики. Тем не менее самым большим из них, «матерью всех антиномий», как сказал бы Цермело, остается парадокс Рассела. Он бьет в самое сердце математики и, согласно американскому философу математики Вильфриду Зигу, оказывает «прямо-таки катастрофическое воздействие на мир математики». Почему? Вспомним принцип гнилого яблока. Если из фундаментальной логики системы можно вывести хотя бы один пример противоречия, то, очевидно, могут возникнуть и другие.

Поэтому поиск решения парадокса Рассела и исправление этого фундаментального изъяна считается критически важным – хотя сам Фреге не станет этого делать. Он чувствует себя сломленным. Работа всей его жизни… оказалась несостоятельной! Он пишет еще несколько статей после этого, но по большому счету оставляет свои планы доказать, что математика может быть сведена к логике. (Хотя позже, ближе к концу жизни, у него случается краткое озарение, и он решает, что в основе математики должна лежать геометрия, а не логика.)

Многие другие, однако, не готовы сидеть сложа руки и позволять своей области мучиться от парадоксов. «Казалось, что возмездием за грех вкушения от древа познания бесконечности стало самопротиворечие, – напишет американский математик Говард Делонг в 1970 году. – Догмы прошлого были несостоятельны, требовался новый подход». Новый подход заключался в использовании математических методов и разработке новой математической логики для решения проблемы. Главным сторонником этого подхода выступает сам Рассел. После обмена письмами с Фреге в 1902 году он клянется найти способ обойти свой собственный парадокс.

Теория множеств Кантора может служить прочной основой для математики тогда и только тогда, когда ее удастся