Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

Сегодня, как и в 1900 году, на нас вываливают непрерывный поток богатых, манящих открытий, и все они сулят личную выгоду без каких-либо страданий. Похудеть с помощью препаратов. Разбогатеть на криптовалюте. Стать инфлюенсером, не говоря ничего, кроме глупостей. Победить Майка Тайсона в боксерском поединке. Водрузить флаг на Марсе. Излечить все болезни за одно десятилетие.

Но будущее полно возможностей, которые гораздо мрачнее, чем мы можем себе представить. Будущее, которое нам постоянно продают, – глянцевое. Чистое. Оно похоже на фешенебельный ресторан, где подают стейки и морепродукты, а официанты носят безупречные длинные белые фартуки. Но будущее с таким же успехом может оказаться придорожной закусочной. Дешевой столовой с жирной пищей. Местом, которое посещают ради удобства и интерьера, а вовсе не ради самой еды, вредной для здоровья. Это такое место, про которое на вопрос, почему вы туда ходите, есть лишь один ответ: «Оно здесь по соседству».

Ну, конечно! Даже у такого будущего есть свое очарование. Официант-хипстер. Эти забавные табуреты в стиле ретро. Блестящие хромированные стойки. Крекеры в банке для сахара. Рисовые зерна в солонке. Те самые потешные музыкальные автоматы, которые никогда не работают – и никому нет до этого дела. Футурология – это все равно всегда одна и та же песня. И мы слушаем ее некритично. Джонни Кэш. Джус Ньютон. Мы это любим! Будущее насыщает. Будущее – это обещание. Оно шкварчит. Оно потрескивает. Как бекон!

Глава 5. Все критяне – лжецы: 1903–1908

Те, кого называют математиками, имеют дело с материями непостижимой сложности и тонкости.

Марк Туллий Цицерон

Возвышенный пафос завершения книги на деле оказывается скучным, сухим и унылым занятием. Никаких труб и барабанов. Ни обожающих толп. Ни помпы. Ни парада. Ни гусаров, ни громких маршей, ни гуаябер, ни фесок. Ни драгуны, ни кортики не салютуют финальному черновику. В этот момент вашу работу никто даже не читает. Только вы. Один. В темноте. Переписываете тот же абзац, который правили сотню раз за тысячу дней. Когда вы начинали книгу, вам не терпелось в нее погрузиться. Теперь, когда вы почти у цели, вам не терпится с ней покончить.

Рассел остро чувствует это, завершая «Принципы математики». Он истратил весь свой запал, месяцами выдавая по десять страниц в день. Теперь он истощен. Окончание работы не приносит бурной радости, признается он Элис. «Лишь своего рода усталое облегчение, как в конце очень долгого и пыльного путешествия на поезде». Он почти озлоблен. «Мне она кажется глупой книгой», – пишет он другу после публикации в 1903 году.

В воздухе витает что-то еще. В 1902 году, как раз перед выходом его книги, Рассел совершает одно из самых важных открытий в своей жизни. Он находит и читает малоизвестную третью книгу Готлоба Фреге под названием «Основоположения арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik), которая вышла в 1893 году. И Рассел обнаруживает в книге проблему – изъян в мышлении Фреге. Он решает написать Фреге письмо об этом.

Судьба играет всеми нами, как жалкими пешками. Пока Рассел пишет свое письмо, Фреге занят финальной вычиткой второго тома той же книги 1893 года. Он буквально готовится отправить рукопись в типографию, когда прибывает письмо Рассела. Оно очень вежливое. И интересное. Рассел гордится своим мастерством писать письма, которое уже тогда считал утраченным искусством. (И скажем прямо: Боже, храни эпистолярный жанр сегодня.) Рассел сообщает, что заметил ошибку. «Я близок к завершению книги о принципах математики и хотел бы очень тщательно обсудить в ней вашу работу, – пишет Рассел. – Есть лишь один пункт, где я столкнулся с трудностью…»

И затем он сообщает ему суть.

Ошибка шокирует. Она не незначительная. Это не какая-то ошибка набора или проблема печати. Это не тривиальное заблуждение, касающееся какого-то второстепенного аспекта работы. В ней нет ничего второстепенного. Рассел обнаруживает фундаментальный изъян в самом сердце логики Фреге – огромный, уродующий шрам в центре шедевра, как если бы у Моны Лизы оказалась плохая татуировка на лице. Это разрушительный дефект в сердцевине логики, который мы теперь называем «парадоксом Рассела».

Парад-алле парадоксов

В начале 1900-х годов математика стала буквально кишеть парадоксами. Помимо парадокса Рассела, появились парадоксы Бурали-Форти, Вейля, Ришара, Кёнига, Греллинга, Сколема, Клини и Россера. Некоторые называют их «радикальными противоречиями». Когда математик Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд узнает о некоторых из них, он начинает сомневаться, рационально ли вообще человеческое мышление.

Кантор сам открыл один из таких парадоксов, основанный на так называемом кардинальном числе множества – мере количества объектов в множестве. Представьте это так: множество игроков стартового состава в команде НБА имеет кардинальное число 5; список бейсбольной команды, включающий основу и запасных, будет иметь кардинальное число 26; а множество, содержащее всех активных игроков на футбольном поле во время матча чемпионата мира, будет равно 22.

Одной замечательной вещью, которую сделал Кантор при разработке теории множеств, было рассмотрение случаев, когда в вашем множестве бесконечное количество объектов. Что происходит тогда? Кардинальные числа обозначают количество элементов в множестве, но если ваше множество содержит бесконечное число элементов, что происходит с вашим кардинальным числом? Кантор ввел понятие «трансфинитных» кардинальных чисел для учета бесконечных множеств. Например, трансфинитное число 

Одно из поразительных утверждений теории множеств Кантора состоит в том, что бесконечные множества могут различаться по своей кардинальности (мощности). Не все бесконечности одинаковы. Существует 

* * *

Парадокс Кантора начинается с понятия «множества всех подмножеств» – комбинаторного набора, основанного на всех возможных сочетаниях элементов внутри множества. Вот как это работает: представьте, что у вас есть множество кардинальностью S; скажем, S = 3 для простого множества из трех первых целых чисел. Кантор определил его множество всех подмножеств как 2s = 23 = 8. Таким образом, в этом тривиальном случае с тремя числами 2s = 23 = 8. Визуально ваше множество выглядело бы так:

{1, 2, 3}.

А его множество всех подмножеств выглядело бы так:

{{∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.

Но Кантору было мало тривиальных случаев. Кантор был