Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

и не так просто. «Это больше не мечта или стремление», – пишет Рассел перед тем, как они начинают проект. Многие математические основы уже проработаны. «В немногих оставшихся случаях нет никаких особых трудностей».

Никаких особых трудностей? Это знаменитые последние слова.

Они начинают с мыслью, что работа над книгой будет быстрой и легкой. Думают, что года вполне хватит, чтобы завершить дело. Они закончат к 1904-му. И почему бы нет? Двое умных парней. Один истинный предмет. Они дают новой книге возвышенное латинское название – Principia Mathematica, что, к некоторой путанице, переводится на английский как «Принципы математики» – так же, как называется только что опубликованная книга Берти. В каком-то смысле это логично, ведь поначалу они считают, что новая книга будет просто продолжением той, старой. Закончить ее за год – проще простого. Может, даже раньше. Но они просчитались на много лет.

«По мере продвижения работы становилось все более очевидным то обстоятельство, что предмет исследования существенно больше, чем мы предполагали», – пишут они в предисловии к книге, первый том которой выходит лишь в 1910 году.

«Больше» – это мягко сказано. Книга оказывается пугающим проектом, и не только потому, что на ее завершение уходят годы. Сама книга массивна. Она заполняет тысячи страниц и три толстых тома. Текст настолько перегружен символами, что становится почти непостижимым. И она не выполняет того, что они задумали. «Основания математики» – это смелая попытка утвердить фундаментальную идею, в которую многие верят в 1901 году: что формальная логика и математика – это одно и то же. Но ей не удается доказать это, даже когда она раздувается в большое, толстое, устрашающее, занимающее треть полки неприступное чудовище – тот тип книг, о которых многие говорят, но мало кто читает.

То, с каким трудом дается усвоение их книги, не становится для Рассела сюрпризом. Он наслаждается фундаментальной непрозрачностью текста и тем фактом, что ничто в нем не кажется очевидным. Он находит эту сложность привлекательной. «Дело в том, что символизм полезен, потому что он делает вещи трудными, – пишет он. – Очевидность – всегда враг правильности».

Единственное, что очевидно для Рассела в самом начале проекта, около 1903 года, – это знание того, что ему необходимо как-то разобраться с парадоксом Рассела. И он с Уайтхедом не единственные, кто так думает.

Hoc Continuum Hypothesin

Когда в 1880-х годах у Георга Кантора впервые проявились признаки душевной болезни, он посетил Гейдельберг, где призвал к созданию нового математического общества – с международным уклоном, в отличие от традиционных обществ внутри стран, которые хоть и принимали иностранных членов, но были сосредоточены на своих гражданах. Он преуспел в этом, помогая создать Международный конгресс математиков – хотя всю тяжелую работу проделали по большей части другие.

На первом собрании группы в Цюрихе пленарные докладчики особо выделили Кантора. А на Второй международной конференции в Париже в 1900 году Гильберт оказал ему еще более особый знак уважения, выбрав первой из своих 23 проблем ту самую «загвоздку», что не давала Кантору покоя годами, – доказательство континуум-гипотезы. Она гласит, что не существует размера бесконечного множества между «малой бесконечностью» (множество целых чисел

) и «большой бесконечностью» – его множеством всех подмножеств , эквивалентным кардинальности бесконечного множества вещественных чисел:

Континуум-гипотеза утверждает, что кардинальность бесконечного множества подобна двуглавому Горцу: может быть либо одно, либо другое!

Кантору так и не удалось это доказать, но, сделав эту задачу первой из своих 23 великих проблем, Гильберт надеялся вдохновить на это кого-то другого. Спустя четыре года после его знаменитого доклада, в 1904 году, это все еще не было сделано. И тем не менее дела у Кантора шли как нельзя лучше – по крайней мере, на бумаге.

Около 336 математиков собираются на III Международный конгресс математиков в августе 1904 года в Гейдельберге – городе, где Кантор впервые предложил проводить подобные международные встречи почти за 20 лет до этого. Тот же город, та же цель.

К этому времени математические общества возникают в городах Европы как грибы после дождя, и почти все они хотят видеть Кантора своим почетным членом. Таким образом, 1904 год должен стать для Кантора кругом почета. Его организаторский гений очевиден. Его слава и значимость растут. Его сообщество на подъеме. Его математическая проницательность «почти повсеместно признана», по словам его биографа Даубена. В том году он получает медаль Сильвестра – главную награду Королевского общества в Лондоне.

Поэтому, когда в 1904 году собирается III Международный конгресс, люди поражены, обнаружив, что Кантор присутствует там лично. К тому моменту он стал почти мифической фигурой. Это должно было стать его триумфом. Его гордым кругом почета. Он должен был завернуться в математический флаг и приписать все заслуги Богу. Должны быть аплодисменты. Должно быть обожание. Восхваление. Пунш и печенье. Но ничего подобного мы не видим. Все идет совсем не так. И это становится еще одним тяжелым эпизодом в долгой истории расшатанной психики Кантора.

Инцидент с Кёнигом

Кантор глубоко потрясен, когда венгерский математик из Будапешта по имени Дьюла (Юлиус) Кёниг представляет доклад, бросающий ему фундаментальный вызов: он пытается опровергнуть континуум-гипотезу. Кёниг заявляет, что континуум-гипотеза неверна, и утверждает, что может это доказать. Кантор, разумеется, отказывается в это верить, твердо стоя на своей математико-религиозной вере. Но он не может сразу найти ошибку в доказательстве Кёнига, хотя уверен, что она должна быть. В конце концов, Бог есть Бог, математика есть математика, а Кантор есть Кантор.

Кёниг утверждает, что континуум-гипотеза ложна по техническим основаниям, заявляя, что множество вещественных чисел «большой бесконечности» (алеф-один) не может быть вполне упорядоченным – это означает, что элементы множества нельзя выстроить в логическую возрастающую иерархию, как это делается с конечным множеством, вроде первых десяти ненулевых чисел последовательности Фибоначчи: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55}. Полная упорядоченность считается необходимым условием для доказательства континуум-гипотезы, поэтому, если это невозможно сделать, гипотеза не может быть доказана. Логика выглядит убедительной, и все же Кёниг ошибается. Он допустил ошибку в своей работе, и этот изъян вскоре обнаруживает тот же молодой ученик Гильберта, который стал соавтором открытия парадокса Рассела. (Привет, Цермело!)

Кёниг обещает Гильберту, что подготовит статью на основе своей лекции для публикации в журнале Mathematische Annalen, редактором которого является Гильберт. Однако статья так и не материализуется, потому что Кёниг обнаруживает свою ошибку. Он неправ, уязвлен и полон сожаления. «После череды несчастливых дней я должен наконец сообщить вам, что не могу прислать обещанную статью», – пишет Кёниг, называя свое неудачное доказательство «катастрофой конгресса».

«Как же