Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

далек от того, чтобы довольствоваться тривиальными случаями. В конце концов, он был Икаром, взлетающим к небесам. Он размышлял о бесконечных множествах. И на этом он не остановился. Прямо к солнцу! Он задумался о множестве всех множеств – назовем его μ, – множеством всех подмножеств которого было бы 2μ.

Отсюда и парадокс Кантора. Поскольку множество всех множеств включает в себя все множества, то по определению оно должно включать и собственное множество всех подмножеств. Но множество всех подмножеств больше, чем его исходное множество, – Кантор это доказал. Это означает, что одно из подмножеств множества всех множеств больше, чем само множество всех множеств. Поскольку множество всех множеств содержит все множества, оно не может быть меньше одного из своих собственных подмножеств. Но если множество всех множеств содержит все множества, его собственное множество всех подмножеств должно быть одним из его подмножеств. Как такое может быть? Это парадокс Кантора!

Нигде в своих трудах Кантор не обсуждал собственный парадокс, по-видимому, полагая, что он не является причиной для тревоги. Он описал его другу, не выказав «вообще никакого видимого беспокойства по поводу парадокса и его последствий», как напишет 80 лет спустя американский философ Кристофер Менцель. Возможно, опять же, отсутствие серьезного беспокойства у Кантора проистекало из его религиозных убеждений – его фундаментальной веры в то, что теория множеств была Божьим даром математике, помещающим науку в божественный порядок вещей.

Нельзя пошатнуть то, что недвижимо, а основания теории множеств были, в его представлении, незыблемы.

Оно является, если не является; и не является, если является!

Вера и убеждения – это как костыль для хромого или мазь для раны. Конечно, польза есть от обоих. Они служат опорой сломанной кости, позволяя ей срастись. Они защищают от инфекций в нашем холодном, жестоком, кишащем бактериями мире. Но если слишком полагаться на костыль, можно лишь усугубить травмы. Хромайте слишком долго, и вы рискуете повредить колено, бедро или спину. А если вы тащите свой крест слишком далеко, опираясь всем весом на твердый костыль божественного знания и страдая от «пращей и стрел» яростных оскорблений, что-то неизбежно сломается.

Кантор не единственный, кто страдает. Парадокс, который Рассел обнаруживает в работе Фреге, – тот самый изъян «татуировки на лице Моны Лизы», – действительно плох. Он угрожает заставить страдать всех. Почему? Парадокс Рассела возникает, когда вы рассматриваете особый тип множеств. Базовая формулировка теории множеств Кантора, которую использует Фреге, гласит, что множества сами по себе также могут быть объектами другого множества. Одно множество может быть частью большей коллекции. НБА, например, – это коллекция баскетбольных команд, каждая из которых является множеством отдельных игроков и тренеров. Одним из следствий этого является то, что некоторые множества фактически включают самих себя в качестве члена – что несколько напоминает рекламные ролики «Клуба мужчин с редеющими волосами» в 1980-х годах («Я не только президент клуба, я еще и клиент»).

Давайте на секунду сделаем шаг назад. Если некоторые множества являются членами самих себя, то многие множества явно таковыми не являются. Возьмите совокупность всех простых чисел. Эта совокупность сама по себе не является простым числом. Следовательно, она не принадлежит самой себе. Равно как и собрание всех чайных чашек Англии на самом деле не является чайной чашкой. Значит, оно не принадлежит самому себе. Вспомните все хорошие французские рестораны в городе Дулут (весьма малое множество, надо сказать). Этот список ресторанов сам не является французским рестораном. Ни один базар – не киоск. Ни одна спортивная команда – не игрок. Ни одна армия – не солдат.

Теперь перейдем к еще более абстрактным вещам. Попробуйте представить вещи, которые невозможно представить. Сам акт представления этой группы вещей подразумевает, что она в нее не включена. Почти любое множество, о котором вы можете подумать, таково. Большинство множеств просто не принадлежат самим себе. Множества, которые не являются членами собственной коллекции, настолько распространены, что их иногда называют «нормальными» или «обычными» множествами. Даже если вы рассматриваете коллекции чисто воображаемых объектов, таких как множество всех вещей, существующих лишь в фантазиях: драконы, единороги, говорящие песчанки, дружественная к сотрудникам кадровая политика – любая коллекция таких выдуманных вещей является определенным, реальным объектом в вашем разуме и, следовательно, не является членом самой себя.

Но хотя большинство множеств не содержат самих себя, некоторые явно содержат. Множество всех множеств – хороший тому пример. Оно содержит все множества и по этому определению должно включать также и себя. Другой хороший пример – коллекция всех вещей, которые вы можете представить. Среди множества вещей, принадлежащих этому множеству, должно быть и само это множество, поскольку даже сейчас вы его представляете.

И вот здесь Рассел совершает свой главный скачок – тот, что отправляет его вниз по кроличьей норе логики на большую часть десятилетия, откуда он уже не вернется прежним. Посмотрите, как это сделал Рассел в начале 1900-х годов, множество всех множеств, которые не являются членами самих себя. А затем задайтесь вопросом: является ли это множество членом самого себя? Ответ и есть парадокс Рассела: оно является, если не является; и не является, если является!

Кто бреет брадобрея

Классический пример, который приводит Рассел, – это занятой городской брадобрей, который бреет всех мужчин в городе, кто не бреется сам. Что произойдет, если спросить: бреет ли брадобрей самого себя? Вот тут-то и загвоздка. Если он не бреет себя, то, согласно сути его работы (брить всех, кто не бреется сам), он должен себя побрить. Но если он бреет себя, тогда то же самое условие работы по сути исключает его из этого действия. Так бреет он себя или нет? Ответ Рассела: если он делает это, то не делает; а если не делает, то делает.

Никогда в истории математики одна короткая фраза не имела такого разрушительного эффекта.

Построение множества всех множеств, которые не содержат самих себя, и доказательство того, что это ведет к парадоксу Рассела, – самая острая критика, с которой когда-либо сталкивался Фреге. Почему? Кого волнуют глупые брадобреи и бреются ли они сами? Какое это вообще имеет отношение к математике? Это похоже скорее на глупую игру слов, чем на что-либо иное. Разве противоречия не обычное дело в жизни людей?

Но это не просто остроумный речевой оборот, теоретическая игра разума или загадочное противоречие. И это не пример семантической или синтаксической двусмысленности или даже простой путаницы – тех случаев, когда говорят, что нечто может быть и тем, и этим. Это не просто неопределенность. Логическая противоречивость парадокса Рассела ставит под сомнение