Великие ученые древности. Семь греческих мудрецов, или Заря наук - Луи Фигье

В десятой книге находится весьма глубокая теория неизмеримых количеств. Две однородные величины называются несоизмеримыми, когда нет единицы, которую можно бы принять за их общую меру, и когда, следовательно, невозможно выразить точным образом их отношение в числах. Например, диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, ибо, если сторону разделить на равные части, то каждая из этих частей, заключаясь точное число раз в стороне, может служить для ее измерения; но ни одна из точных частей стороны не содержится точным образом в диагонали, и обратно, так что совершенно невозможно найти два числа, которых отношение было бы совершенно то же, как отношение стороны четырехугольника к диагонали. Так точно в круге отношение диаметра к окружности, развернутой в прямую линию, не может быть строго выражено в числах. По причине этой-то несоразмерности нельзя получить истинной квадратуры круга, то есть квадрата, который был бы строго равен поверхности круга; это, впрочем, неважно на практике, ибо всегда можно получить желаемое приближение.

Эвклид в ста десяти теоремах рассматривает различные виды и порядки несоизмеримости. Поэтому можно предположить, что уже огромные работы этого рода были сделаны раньше его. Его доказательство несоизмеримости стороны квадрата с диагональю считается весьма остроумным. Эвклид доказывает, что в квадрате число, выражающее точное отношение стороны к диагонали, должно бы быть одновременно четным и нечетным, – вещь очевидно невозможная.

Ничто не способно дать такое точное понятие о разности, существующей между нашим и древним способом рассуждения, как математика. Любопытно и поучительно видеть, до какой степени могут различаться пути, ведущие к тем же истинам.

Теория правильных тел в тринадцатой книге – простой набросок. Но в четырнадцатой и пятнадцатой, приписываемых Ипсиклесу Александрийскому, она развита полнее.

Известнейшее после Начал сочинение Эвклида – Данные. Под этим именем разумеются количества известные, которые, находясь с другими в неизвестных, но определенных отношениях, могут привести при помощи аналитических рассуждений к отысканию количеств неизвестных. Пример: дан радиус круга, вычислить приблизительно окружность этого круга, его поверхность, а равно поверхность и объем шара, описываемого кругом при вращении его вокруг диаметра, как оси.

В Данных около ста теорем, которые можно рассматривать как таковое же число любопытных примеров геометрического анализа древних. Ньютон весьма ценил это сочинение, и Монтукля считает его за первые шаги высшей геометрии.

Кроме этих двух сочинений, Эвклид написал много других, большая часть которых потеряна или не существует в греческом подлиннике. Дошли до нас Разделение гармонической лествицы (скàлы), или трактат О музыке; небесные явления, или Оптика, Катоптрика. Не дошли до нас ни книга О делениях, ни четыре книги О конических сечениях, ни две книги О плоских местах, ни две книги О перспективе, ни трактат О вероятностях.

Трактат О поризмах также потерян, но в наше время, как уже упомянуто, Шаль восстановил это сочинение на основании заметки и Лемм Паппа.

Сочинение, в котором Шаль восстановил потерянный трактат Эвклида, называется Les trois livres des Porismes d'Euclide, rétablis pour la première fois, d'après la notice et les Lemmes de Pappus, et conformément au sentiment de R. Simson sur la forme de énoncés des ces propositions[100] (Три книги Эвклидовых Поризмов, восстановленные впервые на основании заметки и Лемм Паппа, и согласно с мнением Р. Симсона насчет формы выражения этих теорем.)

Мы заимствуем из этой замечательной книги все нижеследующее О поризмах.

«Между сочинениями греческих математиков, не дошедшими до нас, ни одно, – говорит Шаль, – не возбуждало стольких сожалений и любопытства геометров последних веков, как Эвклидов трактат О поризмах».

Это сочинение известно нам только по коротенькой заметке о нем в Папповых Математических сборниках и весьма краткому упоминанию Прокла в его Комментарии на первую книгу Эвклидовых Начал.

Папп, александрийский математик, жил в конце четвертого века нашей эры, стало быть, шестьсот или семьсот лет после Эвклида; но в то время еще существовали все сочинения великого геометра. Папп, под заглавием «Математические сборники», написал сочинение в четырех книгах, из коих, по несчастью, две первые уже не существуют. В этом сочинении он рассказывает о различных изысканиях древних во всех частях геометрии, о механике и т. п.

Заметка Паппа содержит два определения особого рода теорем, названных Эвклидом поризмами, и до тридцати предложений, к ним относящихся; но, прибавляет г. Шаль, все это – в темных и сжатых выражениях, смысл которых напрасно старались проникнуть геометры разных времен, начиная со времени Возрождения.

Р. Симсон в своем Трактате о поризмах (составленном на основании заметки Паппа) делает следующее определение: Поризм есть теорема, в которой отыскивается предполагаемая вещь.

Данные могут быть величины или количества, линии или числа, или же положение линии, рассматриваемой как геометрическое место; или же еще положение точки, через которую проходит бесчисленное множество линий, рассматриваемых как переменные, или же, наконец, положение кривой, к которой все эти прямые – касательные.

Окружность круга есть место бесконечного числа точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром; эллиптическая кривая есть место бесконечного ряда точек, таких, что сумма расстояния каждой из них от двух неподвижных точек, называемых фокусами, равна постоянной прямой, называемой главной осью; парабола есть место бесчисленного множества таких точек, что каждая из них равно удалена от неподвижной точки, называемой фокусом, и от прямой определенного положения, называемой направляющей, и т. д.

Папп говорит, что места суть поризмы. Относительно мест нет никакого сомнения, ибо форма их изложения вполне известна из многочисленных теорем о плоских местах Аполлония Пергейского, переданных нам Паппом. Этим Папп дал средство поверить предыдущее определение поризмов и до некоторой степени определить природу ста семнадцати теорем, составлявших три книги Эвклидовых Поризмов.

По Паппу, поризмы относительно формы ни теоремы, ни задачи, а среднее между ними. Отсюда заключили, что у Эвклида предложения, называемые поризмами, должны одновременно представлять природу теорем и задач. Поризмы, как определил. их Симсон, удовлетворяют этому условию. Места суть, стало быть, поризмы, как положительно говорит Папп.

Эвклид одним и тем же словом πορισμα (поризмы) обозначает и следствия из начал и теоремы своих трех книг О поризмах. Это повело, говорит Шаль, к естественному сближению между поризмами и следствиями. Следствия суть теоремы, которые непосредственно выводятся или из приложения теоремы, или из известного места доказательства этой теоремы, или из рассуждения, которое приводит к разрешению задачи; и можно сказать вообще, что следствия суть теоремы, отличающиеся от тех, из коих они выведены, но которые в сущности воспроизводят их в другой форме, как можно