Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

Гильберт заканчивает свою последнюю речь ровно на той же ноте, что и самую известную, – эхом той безудержной веры в решения, что звучала в его парижском докладе 1900 года. Выступление в Кенигсберге – это отголосок того доклада и твердое подтверждение его пожизненного убеждения. Не должно быть никакого ignorabimus, никакого незнания, заявляет он. Это было его главным посланием 30 лет назад, его главным уроком с тех пор, и это его последняя мысль сейчас. То, что он сказал в Париже 30 лет назад, он повторяет теперь, уходя из общественной жизни: Wir müssen wissen, wir werden wissen («Мы должны знать и будем знать»).

Гильберт с тем же успехом мог бы сказать: «Мы победили». Брауэр разбит, низложен и раздавлен. А Гильберт стоит здесь – лицо в лучах солнца, в ушах гром оваций, на груди ленты с почетным ключом, а в сердце – Королева Математика. Или даже так: «Он победил». После речи его тут же увозят на прямой эфир на радио. Он садится в такси и уезжает прочь – прочь от математики.

Это могло бы стать концом истории. Но почти в тот же самый момент другой математик встает со своего места в душном лекционном зале на другом конце Кенигсберга, где проходит научная конференция. Там группа молодых экспертов выступает с докладами о логицизме, интуиционизме и формализме.

Следует сессия вопросов и ответов, и именно тогда это происходит. То, чего никто не ожидает. Разорвавшаяся бомба. Мы не можем знать, мы не будем знать!

Следует сессия вопросов и ответов, и именно тогда это происходит. То, чего никто не ожидает. Разорвавшаяся бомба. Мы не можем знать и не знаем!

Grundzüge der theoretischen Logik

Вернемся на несколько лет назад, в лето 1927 года, когда молодой математик из Вены по имени Курт Гёдель заинтересовался логикой в целом и книгой Рассела и Уайтхеда в частности.

Год спустя он написал письмо другу, сообщив, что закончил книгу, но остался несколько разочарован. О, разумеется! Он был наслышан об этом труде. Репутация книги – да и самих авторов – бежала впереди них. Написать такое – поистине титанический труд; само существование напечатанного тома казалось чудом. Все так. Но величие этой работы было изрядно раздуто восторгами публики из серии «купил, чтобы поставить на полку». Груз воображаемой значимости всегда давит на умы сильнее реального, и знаменитый труд Рассела и Уайтхеда – ярчайшее тому подтверждение.

«Энтузиазма у меня поубавилось», – писал Гёдель. Причина его разочарования, по словам финского философа Яна фон Плато, та же, которую ранее выявили Гильберт и Брауэр: «Основания математики» в конечном счете не смогли обосновать фундамент математики с помощью формальных доказательств.

Так что Гёдель движется дальше. Вскоре он уже читает работу Гильберта, зарывшись в страницы книги под названием Grundzüge der theoretischen Logik («Основы теоретической логики»), которая была опубликована в начале 1928 года и частично основана на лекциях Давида Гильберта о логицизме, прочитанных в последние дни Великой войны.

Среди прочего, книга описывает интересные математические вопросы, на которые нужно найти ответ. Один из них – доказательство полноты логики первого порядка, или «логики предикатов». Эта область логики наиболее знакома большинству из нас – она, по сути, включает утверждения, логические связки вроде «и» и «или», а также кванторы вроде «существует» и «для каждого». Доказать полноту логики предикатов означает показать, что все, что можно доказать с использованием этих связок первого порядка и кванторов, на самом деле истинно. Причина, по которой Гильберт описал эту проблему в своей книге 1928 года, состоит в том, что она должна была послужить опорой для одного из его важнейших допущений формализма: что все аксиоматические системы полны в том смысле, что они достаточно мощны, чтобы позволить вывести любой результат.

Это, разумеется, возвращает нас к фундаментальному убеждению Гильберта, что «все может быть решено» – к его безудержной вере в решения, которую он впервые описал в Париже в 1900 году и которая стала темой его прощальной лекции в Кенигсберге. Это сильное убеждение: если вы можете логически сформулировать проблему и потратить на нее достаточно времени и сил, вы в конечном итоге решите ее. И Гильберт – истинно верующий. Весь смысл его программы формализма в 1920-х годах – стремление достичь состояния разрешимости. И важный первый шаг на этом пути – доказать полноту логики первого порядка.

Впрочем, для молодого Гёделя это странный вызов, поскольку в 1928 году все и так предполагают, что логика первого порядка полна. Но Гильберт знает: это еще нужно доказать. Ему нужна эта уверенность, твердая как скала, чтобы двигаться дальше. Мало кто стал бы утруждать себя геркулесовым трудом исчерпывающего доказательства того, что и так считается истиной, – и еще меньше людей знали бы, как это сделать. Но Гёдель подхватывает эстафету. Когда год спустя, в 1929 году, появляется его докторская диссертация, он делает именно то, о чем просил Гильберт: доказывает полноту логики предикатов.

Гильберт ликует. Для его программы это отличный знак. Работа сделана всего за год – да еще кем, простым аспирантом! Он впечатлен. Теперь он может удалиться на покой с чувством удовлетворения: пока он уходит в тень, его программа будет процветать.

Но несколько месяцев спустя, на той же самой неделе, когда он произносит в Кенигсберге свою речь «мы должны знать и будем знать», на Второй конференции по эпистемологии точных наук проходит сессия вопросов и ответов. Она следует за панелью, объединившей три доклада ведущих ученых из трех главных лагерей Великой математической войны: формализма, логицизма и интуиционизма. Гёдель встает во время этой сессии и входит в историю. Он озвучивает результат, которого никто не ждет: классическая логика полна, говорит он, но классическая математика неполна.

Ему всего 24 года, но он вот-вот станет намного старше.

* * *

За десять дней до конференции Гёдель встречается со своим другом Рудольфом Карнапом в кафе «Рейхсрат» в Вене. Они оба направляются в Кенигсберг, и, обсуждая предстоящую поездку, Гёдель рассказывает Карнапу, о чем он думал. Карнап с трудом понимает его. Похоже, то же самое происходит и с большинством людей на конференции, когда десять дней спустя Гёдель встает и сбрасывает свою «бомбу»: существуют истинные утверждения, которые вы можете сделать, используя логические инструменты, созданные Расселом и Уайтхедом в «Основаниях математики», говорит Гёдель толпе. Но некоторые из них ни доказуемы, ни опровержимы с помощью тех же инструментов.

Гёдель говорит, что можно создать истинную формулу, которая утверждает о самой себе, что она не может быть доказана – что-то вроде «Это утверждение не может быть доказано». Такое утверждение может быть