Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

и порочное, и святое. Жизни, полные энергии. Разгаданные тайны. Непреднамеренные исходы. Неожиданные последствия. История важна, потому что она интересна, вот и все. Она важна, потому что она живая, а не мертвая. И лишь «ошибка кажимости» утверждает обратное.

* * *

История кризиса оснований почти забыта. Она закончилась тихо, без лишнего шума – благодаря Гёделю. Его теоремы о неполноте задушили дебаты Великой математической войны, которым к 1930 году уже не хватало воздуха. К 1938 году спор об основаниях математики – если не сами основания – казался неважным. Интерес к теме резко угас, и после Второй мировой это равнодушие лишь усилилось. Математическую логику и основания математики больше не преподают на математических факультетах – возможно, иногда на курсах информатики или философии, но «в сугубо техническом ключе» и «без оглядки на историю или философию», как пишет в 2011 году американский математик Дэвид А. Эдвардс.

Да и сама Великая математическая война – Grundlagenstreit (спор об основаниях) или Grundlagenkrise (кризис оснований), как называл это Вейль, – как правило, не преподается вовсе. А если и преподается, то лишь едва-едва и вскользь. Я читал утверждение, что всю эту историю (на описание которой у меня ушло более пяти лет и 110 000 слов) аспирантам можно объяснить за несколько минут – по сути, за одну лекцию.

По словам европейского логика Мирны Джамони, за 80 лет, прошедших после Второй мировой войны, основания математики стали узкоспециализированным, «эзотерическим предметом». «Математики считают это эзотерическим предметом, малоинтересным для их повседневной работы», – писала она в 2019 году. Прочитав это, я едва не бросил эту тему, потому что она показалась мне неважной.

Некоторые сегодня также говорят, что эти дебаты были ошибкой. Раздутой. Глупой. Бесполезной. Ненужной. Выдумкой без реальных последствий. Люди полагают, что все можно было уладить мирно и просто, и они не ошибаются. Как и Первую мировую, Великую математическую войну можно было предотвратить. Но вместо этого ее мощное пламя годами сжигало лучшие умы Европы, пока не угасло к 1938 году. И хотя это считается одним из великих интеллектуальных споров XX века (и самым важным из тех, о которых вы, вероятно, никогда не слышали), многие люди сегодня задают лишь это эгоистичное «Почему» – «Почему меня это должно волновать?»

Отчасти причина того, что Великая математическая война забыта, кроется в том, что она кажется неважной, несмотря на ее странные итоги. Это почти уникальный случай в истории науки, когда фундаментальный раскол между мировоззрениями разрешается не появлением победителей и проигравших, а шахматной «ничьей по Цермело» и прекращением борьбы. Ни одно учение не одержало верх; логицизм, формализм и интуиционизм остаются одинаково состоятельными как подходы к математике и столь же несостоятельными в решении вопроса о ее глубинных основаниях. «Они дополняют друг друга и могут мирно сосуществовать», – пишет испанский математик Хосе Феррейрос. Везувий потух. Колизей закрыт. Марафон отменен.

Но в том, что победитель так и не был найден, есть свой триумф. Главным итогом Великой математической войны стало освобождение. После 1938 года математики получили карт-бланш: использовать элементы логицизма, формализма или интуиционизма когда угодно и сколько угодно, не заботясь об «основаниях». Хочешь – будь формалистом. Желаешь – будь логицистом. А если уж приспичит – будь интуиционистом. При всех различиях между этими тремя обособленными лагерями, после 1938 года они больше никогда по-настоящему не враждовали и не конкурировали друг с другом.

«Мы как никогда далеки от уверенности в окончательных основаниях (логики и) математики», – напишет Вейль в 1946-м. «И все же, – добавит он, – это как будто никак не мешает нашей повседневной работе».

Кто-то может просто сказать, что в кризисе оснований есть чем восхищаться из-за его внутренней строгости. Из-за математической чистоты идей. Из-за того факта, что логицисты, формалисты и интуиционисты штурмуют Эверест с разных склонов. Но то, как они добираются до вершины, – не главное. Ценность Grundlagenkrise заключалась не в пути, а в пункте назначения. Спор принес неожиданные, но драгоценные плоды. Результаты. Новые открытия.

Потому что она… где?

В истории науки есть что-то от фарса, поскольку даже когда мы не правы, мы часто совершаем великие прорывы по самым нелепым причинам. Скромный английский священник по имени Эдвард Стоун выделил аспирин из коры ивы, потому что ошибочно полагал, будто это растение обладает скрытой сущностью, позволяющей ему процветать во влажной, сырой среде – точно так же, как и легочные инфекции (хотя он не мыслил категориями инфекций, так как в его время микробиологии как науки еще не существовало). И все же это удивительное открытие и медицинская революция, основанная на идиотском, неверном понимании механизма.

Аргументы в пользу финансирования фундаментальной науки часто связаны именно с такими непредвиденными последствиями. Микропроцессор и GPS изначально разрабатывались для космической программы «Аполлон». РНК-вакцины, созданные для борьбы со вспышками Эболы, были адаптированы для COVID-19. Адаптивная оптика, созданная для слежки за советскими спутниками, нашла применение в наземных телескопах для устранения искажений при поиске далеких экзопланет. Тим Бернерс-Ли изобрел Всемирную паутину в ЦЕРНе в Швейцарии для узкой задачи – обмена огромными массивами данных в экспериментах по физике элементарных частиц. С формализмом и логицизмом случилась та же история: целились в одно, а попали в другое.

«Подобно тому как Колумб отплыл в Индию, а нашел другие, неожиданные – но не менее богатые и захватывающие – земли, – писал недавно Паоло Манкосу, – так и путешествие разума, логики и оснований математики привело к удивительным находкам, которые кардинально изменили первоначальные цели».

* * *

Логицизм, направленный Гёделем через русло теорем о неполноте, приносит неожиданные дивиденды в компьютерных науках, теории моделей, алгоритмах, теориях рекурсии и вычислимости. Он открывает путь в золотой век логики – с 1930 по 1970 год, когда экономика, политология, прикладная математика, клиническая медицина и компьютерная инженерия стремительно развиваются благодаря алгоритмам.

Формализм, несмотря на провал попытки укрепить основания математики, в конечном итоге тоже оказывается невероятно успешным. Теория доказательств теперь – не просто важный инструмент, а фундаментальная предпосылка современной математики. Базовый подход Гильберта, «несмотря на неудачу», писал Феррейрос несколько лет назад, «утвердился на практике как признанная идеология математики XX века».

Что же эти ошеломляющие успехи формализма и логицизма, подобные возрождению феникса из пепла, означают для интуиционизма? Как воспринимать сокрушительное фиаско этого учения, над которым так злорадствовал Пойа, забирая выигрыш у Вейля? Выходит, Брауэр – главный неудачник? Вовсе нет.

Нет сомнений, что Пойа выиграл пари у Вейля. Еще до Гёделя и его теорем о неполноте интуиционизм впал в немилость. К концу 1920-х математики в массе своей отвергли его, отказавшись от тезиса Брауэра о том, что для математики важны лишь ограничительные конструктивистские методы. «Математическое сообщество, – пишет Эрнст Снэппер в 1979 году, – почти единогласно отвергло интуиционизм».

Но идеи конструктивистской математики Брауэра