Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

сегодня, возможно, ждет возрождение и переосмысление. Математика может быть базовым чувством, вроде способности отличать соленое от сладкого. Я называю это «первичной человеческой способностью». Способность считать, анализировать закономерности и манипулировать данными для принятия решений может быть врожденной, пусть и сформировавшейся в процессе развития, частью человеческого познания – частью нашего базового когнитивного инструментария, который эволюционировал у нашего вида со временем. Математика могла на самом деле предшествовать языку в человеческой эволюции, и, возможно, именно наши математические способности позволили нам вообще развить язык. Базовые количественные навыки и абстрактное представление могли дать нашим предкам огромные преимущества в выживании, позволив им пересчитывать «зимние ужины – по одному на холм», как однажды выразился Роберт Фрост.

Брауэр верил в это. И Гильберт также был убежден, что дело обстоит именно так. Он всегда рассматривал математику как фундаментальную часть нашего базового устройства, написав в 1913 году: «Аксиоматический метод не нов, но глубоко укоренен в человеческом мышлении». (Дело не в том, что мир математичен, как любил говорить один из моих профессоров в колледже, – дело в том, что математичны мы сами.)

Рыба не может не плавать

Возможное доказательство того, что наша математическая способность фундаментальна, дает исследование 2023 года с участием младенцев в Барселоне. Нейробиологи обнаружили признаки логического мышления, возникающего уже в 19 месяцев. Младенцы были способны выдвигать конкурирующие гипотезы, определять вероятностные исходы и взвешивать их соответствующим образом. Спонтанное логическое мышление, предположили исследователи, играет ключевую роль для маленьких детей, заполняя пробелы, компенсируя недостаток усвоенного опыта и снижая неопределенность.

Дополнительные доказательства видны в том, что математическая способность, возможно, не уникальна для нашего вида. Долгие годы мы считали математику и логику исключительно человеческими чертами – вплоть до мысли, что именно способность к математике делает нас людьми. Но это не так. Другие животные тоже умеют считать, оценивать и мыслить аналитически. Древнегреческий философ Хрисипп из Сол, возможно, первым понял это. Около 2500 лет назад он наблюдал, как собака гонится за зверем. Собака теряет след. Добегает до развилки трех дорог. Смотрит направо. Смотрит налево. А затем срывается с места и несется по средней дороге. Экологи в последние годы наблюдали похожее явление в Чикаго. Лет десять назад я был на презентации, где показывали видео с городскими койотами: они терпеливо ждали зеленого сигнала на переходе и, прежде чем ступить на дорогу, смотрели по сторонам. Это явный признак способности к абстрактному представлению.

Некоторые животные демонстрируют великолепное логическое мышление. Исследователи из Тюбингенского университета в Германии недавно показали, что вороны могут ассоциировать знаки и символы с числами и интерпретировать их. Они научили ворон «отстукивать» числа клювом и обнаружили, что птицы способны освоить рекурсивные последовательности – справляясь с задачей весьма успешно, «на уровне детей и даже лучше макак», как пишут ученые. Умные птицы!

Абстрактная ментальная рекурсия – способность иметь одно ментальное представление, вложенное внутрь другого, – также долгое время считалась ключевой чертой человеческого интеллекта. Годами некоторые эксперты даже утверждали – просто воронам на смех, – что именно это и делает нас людьми. (Хотя у самих ворон на этот счет, вероятно, иное мнение.)

Когда я заканчивал эту книгу, исследователи из Окинавского института науки и технологий в Японии обнаружили, что рыбка Amphiprion ocellaris – более известная под милым названием рыба-клоун – распознает других рыб, пересчитывая их полоски. В отличие от веселого Немо из мультфильма Pixar, рыбы-клоуны – не странствующие авантюристы вроде Улисса, а по большей части домоседы и стойкие защитники своей территории, которые безжалостно кусают и атакуют любую рыбу, в которой видят угрозу. По-видимому, они могут отличить своих от чужих, пересчитывая белые полоски на теле гостя.

В этом и состоит парадоксальный урок. Один эксперт-математик однажды сказал: рыбы плавают, но они не решают гидродинамические уравнения; точно так же «хорошие математики не слишком сильны в философии математики». Но, возможно, он упустил главное. Что, если математика – это всего лишь набор открытых в ходе эволюции, неврологически развитых когнитивных процессов, которые позволяют нам ориентироваться и прокладывать свой путь в жизни?

Интуиционизм, таким образом, может обладать нереализованным потенциалом сегодня. Возможно, он поможет разблокировать нашу первичную математическую способность, поможет людям видеть мир вокруг и – подобно Немо – действовать в жизни соответствующим образом. И, возможно, все эти свидетельства из нейробиологии подтверждают базовый постулат Брауэра: мы интуитивно воспринимаем мир через конструктивные умственные построения.

А значит, Брауэр и его интуиционизм в будущем могут обрести новый вес. Пусть они не сместят теорию доказательств Гильберта с трона официальной идеологии математики XXI века, но станут куда более актуальными. Работы Брауэра могут ожидать ренессанс с точки зрения нейробиологии. Человеческий мозг, возможно, действительно репрезентирует математику где-то в своих эгоистичных извилинах, манипулируя числами и проводя вычисления посредством межклеточной сигнализации и электрохимических импульсов деполяризации. И когда-нибудь к способности к математике начнут относиться просто как к еще одной форме мышечной памяти – вроде навыка забивать штрафные в решающий момент баскетбольного матча.

Поскольку Брауэр считал математику деятельностью разума, суть которой – в создании мысленных конструкций, я задаюсь вопросом: не поможет ли его конструктивистский подход пролить свет на нашу способность заниматься математикой? Мне интересно, может ли интуиционизм служить полезным клиническим коррелятом лежащих в основе нейрокогнитивных процессов, которые запускаются, когда мы вызываем в памяти числа и интерпретируем данные. Возможно, понимание этого улучшит наше представление о человеческом разуме, поможет нам развить вкус к математике и усилить количественные способности, приведет к новым подходам в математическом образовании – или ко всему сразу.

Это покажет лишь время. И именно поэтому полезно изучать историю.

Бетесда, штат Мэриленд

Благодарности

Я дописываю эту книгу, сидя у камина, где догорают последние угли последнего зимнего костра, и сердце мое переполняет благодарность ко всем, кому я обязан сказать «спасибо». Работа над рукописью заняла больше пяти лет, и я никогда не справился бы без помощи, советов, наставлений, чуткости и поддержки множества людей, встретившихся мне на этом пути. Вот лишь некоторые из них.

Идея «Великой математической войны» пришла ко мне совершенно случайно и неожиданно во время вечеринки по случаю выхода моего отца на пенсию в Университете штата Пенсильвания осенью 2017 года. Я рассказывал его коллеге Кире Хамман о своей книге «Войны за исчисление», и она сказала, что это напоминает ей о кризисе оснований в математике. Спустя месяцы она прислала мне любезное письмо с кратким обзором ролей Рассела, Брауэра, Гильберта и всей этой истории. Так началось мое исследование.

Два года спустя, летом 2019 года, я с головой ушел в изучение исторических тем. Теория множеств. Англо-бурская война. Британская