Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

улицы. Это время блистательных кинозвезд: Чарли Чаплина, Дугласа Фэрбенкса, Мэри Пикфорд. Это век джаза, олицетворением которого стал хит «Я вечно гонюсь за радугой» («I’m Always Chasing Rainbows»). Дела идут в гору.

Брауэр особенно сильно ждет исполнения этой мечты о «возвращении к норме». Он жаждет вернуться в то сообщество, которого ему так не хватало. Письма. Конференции. Встречи. Обмен мнениями. Он был лишен всего этого, живя как одинокий гений, запертый в «голландской печи» нейтралитета. Теперь, когда война окончена, ему не терпится восстановить профессиональные связи. Первым делом после перемирия он отправляет письмо Гильберту с теплыми пожеланиями. «Пусть здоровое сердце вашего отечества преодолеет нынешний кризис, – пишет он. – И пусть немецкие земли вскоре придут к невиданному расцвету в мире справедливости».

Несколько месяцев спустя Брауэр пишет Гильберту еще одно письмо, вспоминая их совместные прогулки десятилетней давности. Те песчаные дюны. Тот голландский пляж. О, их первая встреча! Кажется, это было в прошлой жизни. Война изменила все. Ничто больше не будет прежним – кроме, возможно, их дружбы. Брауэр пишет Гильберту, что дорожит их близостью и ценит все знания, которые передал ему старший коллега.

В октябре 1919 года в Геттингене открывается профессорская вакансия, и Гильберт предлагает ее Брауэру. Берлинский университет делает Брауэру свое предложение. Внезапно он становится самой желанной фигурой в математике. Он расчетливо использует оба приглашения как рычаг, чтобы улучшить свое положение в Амстердаме: поднимает зарплату до законодательного максимума и получает внушительный грант на покупку книг и журналов. Немецкие предложения он отклоняет, полагая, что послевоенный экономический упадок в Германии повысит стоимость жизни и обесценит университетские зарплаты. И он прав. Экономика Германии разрушена и того хуже. Империя распалась. Армия побеждена. Флот потоплен. Колонии потеряны. А народ истощен.

Безрадостная республика

Веймарская республика восстает из пепла войны лишь тенью прежней Германии. Это место хлебных очередей и хаоса. «Безрадостная республика», – скажет канадский историк Льюис Герцман в 1960 году. «Республика без республиканцев». Королевство, лишенное символов. Разрушенная монархия. Униженная земля нищеты, которой обещали мир, но вручили социальные потрясения; страна, вскормленная войной и обреченная на политическое насилие. Поверженное королевство. «Монархия в ее глубочайшем унижении». Такова Веймарская республика. «Рожденная в поражении, жившая в смуте и погибшая в катастрофе». В ней чувствуется «налет хрупкости, скандала и рока».

Но даже в эти темные послевоенные дни Геттинген остается ярким пятном. С каждым днем прибывает все больше студентов, и многие из них чувствуют, что достигли заветной цели. Всю жизнь они будут гордиться тем, что были здесь. Университет становится центром современной физики, домом для зарождающейся квантовой механики. Новые студенты знают: это то самое место.

Слава университета – во многом заслуга Гильберта. Он притягивает умных аспирантов, словно «сладкая флейта гамельнского крысолова, – говорит один из его бывших студентов, – соблазняя так много крыс последовать за ним в глубокую реку математики». Люди со всего мира едут в Геттинген. Сотни слушателей набиваются в залы на его лекции. Аудитории заполнены до отказа, и присутствовать там считается честью. Порой студенты стоят в проходах или сидят на подоконниках, лишь бы попасть внутрь.

Успех порождает успех. В начале XX века Геттинген взлетает на небывалую высоту. Это удивительно, если взглянуть на его конкурентов. Другие места, сопоставимые с ним по престижу, расположены в мегаполисах – Париже, Берлине, Лондоне, Цюрихе, Москве. Как правило, чем значительнее город в культурном плане, тем выше его интеллектуальные вершины. Геттинген нарушает это правило. Он расположен в сонном захолустье. По словам одного студента, учившегося там в 1930-х, лучший ресторан в Геттингене находился на вокзале. Крошечный по размеру город, по своему статусу он – настоящая гималайская вершина.

* * *

Как только война заканчивается, Гильберт с головой уходит в основания математики. Ни он, ни Брауэр не подозревают, что другой работает над тем же самым – хотя и используя радикально разные подходы. Гильберт вскоре сосредоточивается почти исключительно на этом. Он хочет посвятить последнее десятилетие своей карьеры этой теме, вернувшись к методу, использованному в его «Основаниях геометрии» 1899 года, и переизобрести математику с первых принципов. Он считает, что математику можно построить просто определив непротиворечивый набор аксиом и строго следуя ему.

Он хочет создать возможность разрабатывать «абсолютные» доказательства, которые не зависят от человеческой интуиции, понимания трехмерного пространства или даже внешней реальности. Геометрия, например, имеет связь с формами реального мира и самим трехмерным пространством, которая заложена в нее на каждом уровне. Но Гильберт полагает, что фундаментальные основания математики не должны так сильно опираться на реальность.

Он считает, что мы должны быть способны строить доказательства чисто символически, полностью лишенными смысла – за исключением того, который мы вносим специально. Математика все еще может быть прикладной дисциплиной, думает он. В конце концов, Гильберт провел почти всю карьеру как прикладной математик. Он видит необходимость в этом больше, чем кто-либо. Но в таком случае математика будет обретать смысл именно в момент применения. А для фундаментальной, формальной работы с математикой реальность не нужна вовсе. Это просто вопрос непротиворечивости. Где есть непротиворечивость, там есть полнота. Где есть полнота, там есть доказательство. Где есть доказательство, там должна быть простота. А где есть простота, там будет ясность. Таково будущее, думает он.

Волшебная палочка

Гильберт хочет, чтобы математика была и полной, и простой. В его понимании это значит, что аксиомы должны быть немногочисленными, независимыми друг от друга и в совокупности полными. Его «формальная аксиоматизация» математики сделает то, что не удалось Расселу и логицизму: решит проблему оснований раз и навсегда и покажет, что математика – это «неделимое целое», по словам Гильберта, «организм, жизнеспособность которого держится на связи между его частями».

«Аксиоматика – это ритм, который превращает метод в музыку, волшебная палочка, что направляет все индивидуальные усилия к единой цели», – пишет Гильберт в одной из своих записных книжек. Метафора вполне под стать человеку, которого называют гамельнским крысоловом. Образы немного смешались, но это не страшно. Он проникается этим, входит в такт. Чувствует ритм!

Подход Брауэра к математике едва ли не полная противоположность гильбертовскому, и основа кризиса оснований (или Великой математической войны, как я ее называю) заключается главным образом в том, что они оба считают свои конкурирующие мировоззрения взаимоисключающими. Я расскажу о гораздо более нестандартном подходе Брауэра чуть позже, но сперва стоит отметить: есть несколько вещей, в которых они с Гильбертом решительно согласны.

Во-первых, это неудача Рассела – пусть и по разным причинам. Гильберт считает труд Рассела безмерно героическим, но все же уверен, что нужен новый подход. Фундаментом должна служить не логика, думает он, а аксиоматически определенный