Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

Ему легко представить объект, который можно помыслить, но не построить; обозначить, но не вывести; сформулировать, но не решить. Поэтому он отвергает «безудержную веру в решения» Гильберта так же, как отвергает методы вроде доказательств чистого существования.

Это не пустяк. Это вызов десятилетиям математических результатов, ведь математики Европы годами публиковали статью за статьей, используя доказательства чистого существования – ровно то, что отвергает подход Брауэра. Из-за этого интуиционизм ставит под вопрос множество драгоценных математических доказательств. В глазах Брауэра то, на чем раньше ставили штамп «ЧТД», теперь получало бирку «мертв по прибытии». На что он, по сути, говорит: «Ну и что?» Гильберт говорит, что все проблемы либо доказуемы, либо можно показать их недоказуемость. Брауэр говорит, по сути: «Чушь!»

Это одна из самых поразительных вещей в Брауэре. Он не просто занимает бескомпромиссную позицию, отвергая огромное число математических открытий, – его это совершенно не смущает. С полной самоуверенностью он говорит: «Выбросьте все это и начните заново». Отправьте на свалку любую часть математики, которую нельзя сконструировать методами интуиционизма, – и, кстати, это не такая уж большая потеря, утверждает он, потому что такие результаты изначально бессмысленны.

Эта позиция показательна, так как она выявляет еще одну странность Брауэра: легкое лицемерие. Он добился славы в годы перед Первой мировой войной благодаря своим новаторским работам в топологии. Самым известным его достижением была так называемая теорема о неподвижной точке, которая гласит, что любая функция имеет хотя бы одну неподвижную точку. Но доказательство этой теоремы даже с большой натяжкой нельзя назвать примером интуиционизма – скорее, наоборот. Теорема о неподвижной точке была обоснована через доказательство чистого существования. Таким образом, именно то, что дало старт карьере Брауэра до войны, – это ровно тот тип вещей, который он отвергает после войны, перейдя на жесткие позиции конструктивизма. Враг твоего врага – это ты сам!

В первые дни после войны Гильберт совершенно не подозревает о происходящем, но ситуация скоро изменится, когда Брауэр сделает своим союзником одного из самых любимых учеников Гильберта. Герман Вейль – самый умный и успешный протеже, который когда-либо был у Гильберта, и во многом тот сын, которого у него никогда не было. Вейль приехал в Геттинген совсем юным аспирантом в 1904 году, защитил диссертацию под руководством Гильберта примерно в то же время, когда Брауэр заканчивал свою в Амстердаме, и быстро стал восходящей звездой геттингенского факультета в 1911–1912 годах, когда Брауэр посещал университет. Они быстро сдружились.

Как и Брауэр, Вейль был «математической глыбой». В 1913 году он опубликовал невероятно популярную книгу «Идея римановой поверхности», которая мгновенно стала классикой в математических кругах. Он был одаренным писателем – настолько, что покойная Констанс Рид, возможно, величайший математический биограф всех времен, однажды сказала в интервью, что хотела написать книгу о Вейле, но сочла это излишним, поскольку он, по сути, уже сам рассказал о себе все, что можно было сказать.

Такое сочетание талантов редко встречается среди математиков, и гениальность Вейля вкупе с его красноречием сделали его восходящей звездой. Технологический институт в Цюрихе тут же перехватил его, наняв профессором в 1913 году. Он принял предложение и на один год стал коллегой Эйнштейна, прежде чем тот уехал, чтобы занять пост в Берлинском университете.

* * *

Вейль обладал обостренным чувством прекрасного; искусство и эстетика были для него так же важны, как и математика, – черта, которую очень ценил в нем Брауэр. Вейль находился в Цюрихе, когда там во время Первой мировой войны зародилось антилогическое движение дадаизма, и он проникся им. В 1917 году, пока еще шла Великая война, Вейль усердно работал над логикой, изучая книги Рассела и Уайтхеда.

Независимо от других Вейль пришел к той же точке зрения, что и Брауэр: одна лишь логика не способна стать фундаментом математики. Его отход от мировоззрения Рассела был основан на логическом определении вещественных чисел, которое Рассел и Уайтхед дают в «Основаниях математики». Вейль усмотрел, что определение вещественных чисел полностью зависит от их природы. Но в логицизме определение само частично отвечает за формирование этого определения (благодаря нашему старому доброму другу – порочному кругу). Природа вещественных чисел такова, как мы их определяем, говорят Рассел и Уайтхед. Это определение определяет их природу. А из этой природы мы выводим наше определение. И так мы ходим по порочному кругу.

Вейль отвергает этот абсурд, и в этом вопросе они с Брауэром полностью сходятся. Это важно, потому что Вейль – лучший союзник, которого могли бы пожелать и Брауэр, и Гильберт. У Вейля природный дар к популяризации. Он – настоящая стихия как коммуникатор: красноречив на нескольких языках, смел и гениален. Он обладает изящным, даже поэтичным стилем письма – и именно на этот стиль, по крайней мере поначалу, делает ставку Брауэр, собираясь в течение следующего десятилетия переписать правила математики на свой интуиционистский лад. Слава богу, есть Вейль, думает он, ведь теперь ему не придется делать это в одиночку. И, по крайней мере поначалу, он не разочарован.

Вернувшись в Цюрих после недолгого пребывания в немецкой армии, Вейль внимательно изучает работы Брауэра. Он также пишет крошечную книгу под названием Das Kontinuum, где исследует идеи Пуанкаре и Рассела об основаниях математики. Некоторые обвиняли его в том, что в этой брошюре он «совершил акт поэзии», – настолько красиво он описывает континуум вещественных чисел (то несчетно большое бесконечное множество «алеф-один», которое Георг Кантор исследовал почти полвека назад) и гладкость континуума как некое откровение в постоянстве.

Его оценка оснований математики столь же поэтична, хотя и куда более мрачна. Он говорит, что основания состоят не из коренной породы (или, как в современном строительстве, бетона, залитого поверх стальной арматуры). Математика, считает Вейль, больше похожа на деревянную лачугу, построенную на зыбком песке.

Das Kontinuum – работа короткая, но трудная; еще одна из тех книг, которые «есть у всех, но не постигает никто». Один современный ученый недавно заметил, что потребовалось 60 лет, чтобы труд Вейля оценили по достоинству. Отчасти причина в том, что континуум очень трудно объяснить. Кантор называет это мощностью несчетного, неперечислимого множества вещественных чисел («большой бесконечности»); позже он будет объяснять высшему католическому духовенству, что эта величина эквивалентна абсолютной, недосягаемой, неоспоримой и непостижимой абсолютности Бога. Более современный и менее библейский способ определения континуума сводится к вопросу: сколько точек находится на числовой прямой? Понимание этого покажет разницу между большой и малой бесконечностью.

Начинать объяснение с этого страшновато, но приступим.

Сжечь математику дотла

Сначала подумайте о малой бесконечности. Представьте целые числа как ведра с песком: одно ведро, два ведра, три, четыре. И так далее, до бесконечности. Счетная, перечислимая «малая бесконечность» теории множеств – это бесконечная коллекция всех таких ведер.