Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

Врач дает Францу успокоительное и увозит его в клинику на такси. Позже тем же утром Гильберт холодно произносит: «С этого момента я должен считать, что у меня нет сына».

Франц не сдается. Он хочет видеть отца. Хочет, чтобы отец видел его. И это происходит – до определенной степени. В течение следующих десятилетий Гильберт будет находить сыну работу то тут, то там в университете. А в зрелом возрасте Франц приобретет поразительное сходство с Давидом – образ, который он будет сознательно культивировать. Он будет так же одеваться. Так же ухаживать за лицом. И даже, по словам одного биографа, имитировать знаменитую манеру речи отца. Однако это не столько убеждает, сколько озадачивает. Большинство людей будут смотреть на него как на обезьянку шарманщика: как на грустную, странную, подражательную пантомиму. «Звук без сути», – скажут позже люди, знавшие семью.

Гильберт любит своего сына. Но он не умеет обращаться с детьми и с ранних пор знает, что Франц – не его математический наследник; его сын – не Ослепительная в рваных джинсах и на роликах, танцующая под ритм своего Галактуса. Вот почему Гильберт ощущает такую глубокую утрату, узнав о предательстве Вейля – своего истинного интеллектуального сына. Поступок Вейля – это удар, который он не может вынести. Он решает дать бой Брауэру и не отступать, что бы ни случилось. Он идет на войну!

Vanitas notas in pagina

Многие заинтригованы интуиционизмом Брауэра, но не все. Венгерский математик Джордж Пойа, коллега Вейля по Цюриху, называет программу Брауэра «математикой в коротких рукавах» – иными словами, одетой не по форме. Они с Вейлем вступают в спор. Они дискутируют. Наконец, Вейль заключает с Пойа дружеское пари о том, что идеи Брауэра в конечном счете одержат верх. Он предсказывает, что в течение 20 лет интуиционизм станет доминирующей теорией.

После выхода статьи Вейля о кризисе оснований линии фронта очерчены. Математики разделяются на два лагеря: формалистов, следующих за Гильбертом, и интуиционистов, следующих за Брауэром.

Подход Гильберта доминирует. В конце концов, он куда более известен – бьющееся сердце в самом сердце математической вселенной. Кроме того, в его словах есть многое, что подкупает. Его «безудержная вера в решения» пьянит – идея о том, что если вы можете логически сформулировать задачу, то при наличии достаточного времени, чистого разума и упорного труда вы в конечном счете ее решите.

В то же время формализм Гильберта, каким он развивается в начале 1920-х годов, – странный зверь для человека, который провел большую часть карьеры, работая над проблемами прикладной математики. Ничто не может быть более абстрактным, чистым и далеким от поклонения прикладной математике, чем основания математики. Но корни этого перехода существовали всегда. Книга Гильберта 1899 года «Основания геометрии», по сути, взяла то, что всегда было прикладным предметом, и превратила его в предмет абстрактный. Теперь, в 1920-х, он хочет пойти дальше.

Для него попытка укрепить основания математики, полагаясь на иную систему, вроде логики, – все равно что есть плошку горохового пюре, когда у вас на тарелке лежит ковбойский стейк. Вместо этого он берет математические объекты, обозначает их символами и комбинирует утверждения, используя стандартные логические правила, чтобы сформировать математические доказательства – «метаматематику», как он это называет, или «теорию доказательств». Его формализм не сложнее этого: работа с теоремами, составленными из строк бессмысленных значков на странице, как выражается Гильберт. На самом деле – игра.

Но это ничуть не умаляет серьезности метода. Ведь у игр есть правила. Поэтому Гильберт предлагает выстраивать математические доказательства именно по этому принципу: игры с установленными правилами, где внимание сосредоточено не на математических объектах – игровых фигурах, а на правилах игры. Когда правила соблюдаются, возникает смысл. И результаты имеют смысл, даже если знаки, которые к ним привели, его лишены. Такова основа его подхода, теории доказательств, формализма, метаматематики или как бы вы это ни называли. Делать осмысленные утверждения о бессмысленных символах.

Что именно это значит?

* * *

Возьмем стандартную партию в шахматы. В шахматах есть набор фигур – стандартных не по форме и виду, а по своему абстрактному значению: король есть король, ферзь есть ферзь, а пешка есть пешка. У меня дома три шахматных набора. Один – изящный, ручной полировки, медно-кофейных тонов, выполненный профессиональными художниками в виде персонажей «Винни-Пуха». Я купил его в Нью-Йорке много лет назад, полагая, что все эти пешки-Пятачки и кони-Иа-Иа понравятся моим маленьким детям. Однако фигуры оказались слишком хрупкими для игры, и набор лежит в коробке со дня покупки.

Другая шахматная доска у меня дома – это уникальный набор из глазурованной обожженной глины, который моя дочь сделала в школе на курсе по керамике. С одной стороны там фигуры-растения, с другой – животные. Кони – это деревья и белки, а пешки – шмели и тюльпаны. А третий мой набор – просто дешевый магазинный дорожный комплект, где 32 пластиковые фигуры – это стандартные черно-белые кони в виде «троянских коней» и пешки-минареты. Они плотно укладываются в футляр, который раскладывается в доску.

Суть в том, что точная форма, материал и цвет пешек не имеют никакого значения. Керамические пчелы. Пластиковые кони. Отлитые вручную Пятачки. Они выглядят совершенно по-разному, и их внешний облик лишен смысла. Единственное, что имеет значение, – это правила: у вас есть восемь пешек, стоящих в ряд на второй линии в начале игры, и каждая может пойти на одну или две клетки вперед при первом ходе, а дальше – только на одну, если не бьет фигуру противника.

Есть и другие правила. Игроки ходят по очереди – это правило. Есть правила, управляющие движением всех остальных фигур. Вы не можете передвинуть короля больше чем на одну клетку, потому в противном случае вы будете играть уже в другую игру. Расстановка на доске – тоже стандартное правило, даже в таком варианте, как случайные шахматы Фишера, или «Шахматы-960», где задний ряд выстраивается произвольно. Правила определяют ход игры и, в конечном счете, ее исход: победу, поражение или ничью. Никто в честной шахматной партии не станет пытаться обойти правила (не считая редких скандалов с участием гроссмейстеров).

А вопрос о том, «истинны» ли шахматы, по сути бессмыслен. Игра есть игра. И точно так же математика есть математика. Пока правила последовательно определены и строго соблюдаются, этого, по мнению Гильберта, достаточно. Неважно, из чего фигуры: из пластика, дерева или резного мрамора в бриллиантах. Они не имеют