Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

в конце XIX и начале XX века принцип Tertium non datur начал приобретать еще большую значимость, так как математики обнаружили, что могут использовать его вместе с теорией множеств, чтобы обращаться с бесконечными сущностями при помощи финитных средств. Благодаря закону исключенного третьего вам не нужно строить бесконечное множество, чтобы с ним работать. Вы можете использовать Tertium non datur, например, для построения «чистого доказательства существования» – метода, который так любит Гильберт. «Доказательства существования, проведенные с помощью принципа исключенного третьего, обычно особенно привлекательны своей удивительной краткостью и элегантностью», – говорит он.

Интуиционистский подход и конструктивная математика Брауэра гласят, что вы можете окончательно ответить на тот же вопрос о победе черных в шахматах, только если это можно продемонстрировать (возможно, реконструировав ходы с начала и показав, что на последнем ходу черный конь берет белого короля). Его позиция революционна, пусть и деструктивна. Тысячи лет никто толком не ставил под сомнение принцип исключенного третьего. Но, по мнению Брауэра, все, что не сконструировано, не обязательно имеет силу – включая и сам закон исключенного третьего. Tertium non datur – это не сконструированное утверждение, с точки зрения Брауэра. Он не просто ставит его под сомнение – он отметает его как бессмысленную комбинацию недоказанных слов.

Потерянный рай

Отказ от закона исключенного третьего глубоко возмущает многих математиков, потому что это означает… о ужас! Убрать Tertium non datur из математики – это как убрать разделочную доску из кухни: украсть один из самых мощных инструментов и оставить вас только с тупыми ножами.

Гильберт с презрением отвергает эту идею. «Запретить утверждения о существовании и принцип исключенного третьего равносильно отказу от математической науки вообще», – говорит он. Это было бы похоже на требование к астроному работать без телескопа – или, как говорит Гильберт, на указание боксеру, что он не может использовать кулаки. Не нанеся кросс, вы никогда не отправите соперника в нокаут. Как без телескопа надеяться совершить астрономическое открытие? А без Tertium non datur придется выбросить лучшие жемчужины математической сокровищницы. Это слишком похоже на тактику выжженной земли, чтобы даже рассматривать такое всерьез.

Забыв про Гамлета вопрос

(«Быть иль не быть» – Б ∨ Б?),

Интуиционизм воротит нос:

«Быть – лишь когда доказано, что есть!»

Брауэр, конечно, осознает последствия отказа от закона исключенного третьего. Он знает, что большие части так называемого рая Кантора придется выбросить, если он пойдет на это. Но это его нисколько не беспокоит. Ему все равно. На самом деле он это приветствует. В конце концов, он гонится за революциями, а не за призраками.

С 1918 по 1923 год Брауэр публикует ряд статей по интуиционистской теории множеств в голландских и немецких журналах, специально отвергая Tertium non datur как инструмент доказательства, особенно при работе с бесконечными объектами. Он утверждает, что в бесконечном множестве возможностей нельзя знать наверняка, что А и не-А – это единственные два состояния. И он отвергает убеждение Гильберта в том, что все математические проблемы разрешимы на одной основе. Одни теории могут быть недоказуемыми. Другие могут быть ложными, даже если в них нет явного противоречия. Ложная теория, не остановленная противоречием, подобна вору, еще не пойманному законом, говорит он.

Это лишь часть работы Брауэра. Его главное новшество – разработка так называемой конструктивной теории множеств с использованием «последовательностей выбора», где математический объект рассматривается как построение, а не как существующая структура – «становление», а не «бытие», если говорить в чисто мистических терминах. С конструкцией последовательностей выбора интуиционизм кажется Брауэру богатым и строгим, если не единственно верным. Он стремится к философской «перестройке» математики: уйти от понимания математических объектов как нереальных сущностей и прийти к объектам реальным, сконструированным человеческим разумом.

Но именно отказ от Tertium non datur мешает многим полюбить интуиционизм. Формализм Гильберта удобен в обращении. Экономичен. Даже элегантен. Он одновременно радикален и традиционен. Кто же не любит хорошую шахматную партию? Конструктивистские доказательства, напротив, громоздки и даже уродливы. Некоторые из них в десять раз длиннее традиционных аналогов, подчас полностью лишены изящества, а иногда кажутся бессмысленными и разрушительными. Строгий интуиционизм настолько бескомпромиссен, что с порога отвергает все, что нельзя сконструировать, включая совершенно привычные понятия вроде иррациональных чисел и трансфинитных чисел Кантора. Для многих это звучит нелепо и даже хуже.

Поэтому, когда Гильберт бросает перчатку и начинает бомбардировать Брауэра критикой, тесный мир европейской математики по большей части встает на его сторону. В начале 1920-х Брауэр и Вейль надеются, что интуиционизм переосмыслит математику, сделав ее проще, чище и элегантнее, но этого так и не происходит. И большинство не желает ждать, чтобы проверить, случится ли это. Но со временем становится все яснее, что интуиционизм куда более тяжеловесен и менее привлекателен, чем простая элегантность формализма, что играет прямо на руку Гильберту. Пока он штурмует свою гору, устремляясь к вершине К2 под аплодисменты публики из базового лагеря, Брауэр топчется на месте и стремительно катится вниз, превращаясь в посмешище.

Позже Вейль сетует на «почти невыносимую громоздкость» интуиционизма и разрушительный эффект исключения неконструктивных доказательств. «Математик с болью наблюдает, как большая часть его величественного здания, которое, как он верил, выстроено из бетонных блоков, растворяется в тумане прямо на глазах».

Для Гильберта все куда хуже. Принять Брауэра – значит отвергнуть Кантора. Гильберт «не мог вынести этого изувечивания», – говорит Вейль. «Они бы искромсали и изуродовали науку, – говорит Гильберт. – Мы бы рисковали потерять огромную часть наших самых ценных сокровищ».

На такое Гильберт пойти не мог. И он не покупается на заявление Вейля о том, что интуиционизм Брауэра – это революция. Это нельзя назвать революцией, считает Гильберт. Скорее, это попытка путча. «Обреченная на провал с самого начала».

Война объявлена!

Une affaire française

Брауэр и Вейль появляются на конференции в немецком городе Наугейм в сентябре 1920 года. Оба выступают с докладами, и, согласно одному из отчетов, речь Брауэра граничит с полной непостижимостью.

Собрание в Наугейме сегодня гораздо больше известно как место, где Альберт Эйнштейн впервые публично защищал свою теорию относительности, популярность которой тогда взрывообразно росла. Но оно интересно и своей политикой. Встреча в Наугейме была организована намеренно в конфликт с другим мероприятием, проходящим в то же время, – VI Международным конгрессом математиков в Страсбурге. Тот факт, что Эйнштейн, Гильберт, Вейль и другие находятся там, а не в Страсбурге, – знамение времени. Всем немецким подданным запрещено посещать VI конгресс в Страсбурге.

Два года назад группа бельгийских, французских, британских и других ученых из стран-союзниц собралась в Королевском обществе в Лондоне и выпустила заявление,