Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

маленький бессмысленный значок на странице? Единственная проблема – и ключ к успеху, как знает Гильберт, – это поиск «доказательства непротиворечивости». Нужно показать, что доказательства с участием бесконечных множеств можно подтвердить, сведя их к бессмысленным значкам на бумаге и манипулируя ими исключительно финитными методами. Дайте доказательство этого – и бац! Дело сделано.

Если он сможет это сделать, напишет Симпсон в 1988 году, это покажет, «что финитистски значимые конечные формулы инфинитистских доказательств истинны в реальном мире». Это будет означать, что он проложил путь к доказательству чего угодно, создал прочный фундамент для математики и выиграл Великую математическую войну.

Однако не все согласны с этой идеей – и меньше всего Брауэр. Гильберт был убежден: дайте только время и силы, докажите непротиворечивость – и мы решим любую задачу. Брауэр же смотрел на вещи прагматично, если не сказать с кислой миной. Его настрой напоминал «торжествующий пессимизм» физиолога Эмиля дю Буа-Реймона, философию которого Гильберт на дух не переносил.

Брауэр твердо верит, что некоторые утверждения доказать невозможно. «В математике нет уверенности, вся ли логика допустима, – говорит Брауэр, – и нет уверенности, можно ли решить, вся ли логика допустима». Иными словами, мы не знаем, и в некоторых случаях не можем знать. А в конечном счете мы можем даже не знать, способны ли мы знать. (Это напоминает слова о «неизвестных неизвестных» бывшего министра обороны США Дональда Рамсфелда.)

Выплеснуть «может быть» вместе с математикой

Брауэр еще более прямолинеен в своей критике всей концепции Гильберта о бессмысленных значках на странице, безжалостно высмеивая его за это. «Пустой формализм», – говорит он. Лишенный смысла. Лишенный интереса. Здесь не на что смотреть.

Кому есть дело до глупого подхода Гильберта, если математика не имеет смысла? Критика, безусловно, несправедливая, но Гильберт швыряет в ответ свои собственные бомбы. Он называет своего заклятого врага худшей формой адвоката дьявола – разрушительным скептиком. Невероятная узколобость. Он обвиняет Брауэра и его последователей, в частности своего бывшего ученика Вейля, в произволе. Они «стремятся подвести фундамент под математику, выбрасывая за борт все, что им мешает».

К этому времени для разрядки уже слишком поздно. Почти ничто из сказанного или сделанного Гильбертом за всю жизнь в отношении чего-либо или кого-либо даже отдаленно не сравнится с его отношением и злобными выпадами в адрес Брауэра в 1920-х годах. «Никогда до или после в своей жизни Гильберт не занимал такой воинствующей и откровенно личной позиции в научном споре, как с Брауэром, – отмечал один эксперт в последние годы. – Этот настрой порой толкал его на совершенно абсурдные поступки».

«Какие поступки?» – можете спросить вы. Об этом чуть позже. Сначала Гильберту предстоит еще одно, личное и куда более мучительное восхождение. В 1920-х он превратился в старика. Жизнь, полная труда, и военные годы на репе не пошли на пользу его здоровью. У него серьезные проблемы, и он оказывается на пороге смерти. Те, кто видит его каждый день, читают это по его лицу. Он болен. Бледен. Изможден. Слабеет и угасает физически.

Конечно, Гильберт по-прежнему икона. Маяк. Он – Крысолов из рая Кантора. Студенты, ровесники, коллеги – все обожают и почитают его. Даже далекие от науки люди знают и почитают его. Многие ли математики попадают на почтовые марки, как это было с Гильбертом в начале 1900-х? Он знаменит. Живая икона в том смысле, в каком почти ни один математик никогда не был и не будет. Он воплощает сверхчеловеческое величие, находясь там, в заоблачном царстве, наравне с Альбертом Эйнштейном.

И он – математик до мозга костей.

* * *

Когда Гильберт появляется на встречах, люди задерживают дыхание. Когда он встает, чтобы выступить, слышен громкий вздох изумления. О боже! На его лекции приходят заранее и остаются допоздна. Он – мэтр. Волшебник. Капитан. Тренер. Бесспорный гений. Неописуемое величие. И слабое здоровье ничуть не гасит сияние его звезды. Пожалуй, он самый влиятельный математик своей эпохи.

Его влияние усиливается еще и тем, что многие в восторге от его успехов в формализме. Если отбросить брюзжание Брауэра, большинство математиков смотрят на Гильберта с благоговением, а на его работу – с завистью. Она великолепна. Экономична. Элегантна. Они принимают ее теплую красоту. Искрящуюся свежесть. И в то же время они охладевают к холодному, громоздкому, запутанному конструктивизму, который проповедует Брауэр. «Они были гораздо более восприимчивы к плану, разработанному Гильбертом не для очищения математики изнутри, а для обоснования ее извне», – напишет математик Аллан Калдер в Scientific American 50 лет спустя.

«Никто не изгонит нас из рая, который создал для нас Кантор», – заявляет Гильберт в 1920-х годах, выражаясь предельно ясно. И сомневаться в этом или выступать против – дело не для слабонервных.

Однако Брауэр достаточно безумен, чтобы пойти на это. И в 1920-х годах у него начинаются собственные прорывы. Он приступает к публикациям. С 1923 по 1928 год он выпускает 27 оригинальных работ. В 1924-м, используя свои новые интуиционистско-конструктивные методы, он продвигается вперед, доказывая каверзные теоремы там, где классические методы давали сбой. Он также разрабатывает параллельные доказательства для задач, ранее решенных классическим способом, таких как основная теорема алгебры, которую Гаусс впервые доказал столетием ранее. (Теорема гласит, что уравнения степени n – содержащие члены типа xⁿ – имеют n решений).

Но хотя этот успех должен был помочь интуиционизму взлететь, этого не случилось. Отчасти потому, что Брауэр сам себе злейший враг: он отвратительный писатель. Даже те, кто восхищается им как личностью, ненавидят его стиль. Биограф Брауэра ван Дален называет его главные статьи 1920-х годов «сухими как пыль» и «академичными до занудства».

Кроме того, продуктивность Брауэра носит нерегулярный и бессвязный характер. Бывают годы, когда он вообще не публикуется. В другие годы выходит сразу несколько статей, но без видимой связи между собой. Он не выстраивает свой труд системно, накладывая одну работу на другую, как это делают ученые. Вдобавок ко всему, 1920-е – хлопотное время для Брауэра. Его отвлекают другие обязательства. Он занят в своей аптеке. Перегружен делами в Амстердамском университете. Активно работает редактором в Mathematische Annalen – том же журнале, который курирует Гильберт (источник неловкости для обоих). В результате вместо стабильного прогресса и влиятельных публикаций он работает урывками – причем перерывов больше, чем рывков.

По словам ван Далена, некоторые начинают воспринимать работу Брауэра как своего рода «невозделанное поле надежд». «Земля, полная обещаний, но приносящая мало плодов».

* * *

Бесплодные ландшафты – особенно говорящая метафора для Германии начала 1920-х годов, страны, лишившейся чего-то большего, чем просто леса. Хлесткий и болезненный удар экономического кризиса, последовавший за Великой войной, бьет по Германии больнее всего. Страну со всех