Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

Гильберт подходит к такой, с позволения сказать, «геймификации» математики с размахом. Он уравнивает все математические фигуры: реальные и воображаемые, сложные и простые. Для него все это – просто объекты, записанные на языке математики. И язык этот не страдает от досадной двусмысленности нашей обычной речи; это особый символический код, полностью очищенный от побочных смыслов. Вспомните керамических пчел, которых слепила моя дочь. Сами по себе эти фигурки бессмысленны, пока вы не поставите их на доску.

* * *

Однако игра в математику сложнее, чем игра в шахматы. Почему? Во-первых, объекты математики не столь бессмысленны, как пластиковые пешки. О чем мы говорим, когда говорим об объектах математики? О таких вещах, как числа, линии и геометрические фигуры. Кажется, что эти вещи обладают очевидным, недвусмысленным и объективным внешним смыслом. Эти смыслы глубоко укоренены в нашем понимании математики. Некоторые из них, такие как целые числа, возможно, даже являются нейробиологически встроенной частью нашего мышления.

Современная нейробиология открывает все больше фактов о том, что люди, вороны, дельфины, рыбы-клоуны и многие другие виды обладают врожденными количественными способностями, которые напрямую касаются чисел и форм. Для нашего мысленного взора числа, линии и фигуры – это не ничтожные пластиковые пешки, а объекты реального мира. Они – материя внешней реальности, и игнорировать это – значит закрывать глаза на окружающий мир.

Математические объекты часто несут и огромную культурную нагрузку. Мы определяем красоту и порядок через геометрическую симметрию. Мы придаем социальное и даже моральное значение числам и формам. «Только мы двое». «Ходить по струнке». «Играть прямо». «Честная сделка». «Круг замкнулся». «Счастливая семерка». «Место 11а». «Несчастливое число 13!» Но дело не только в этом. На первый взгляд числа, линии и фигуры – не просто часть математики. Они и есть математика. Тысячелетиями, по сути, они были единственным содержанием предмета – единственным, о чем мы говорили, когда говорили о математике. По этой причине некоторые эксперты называют числа, линии и фигуры «привилегированными» объектами.

Однако начиная с XIX века математика стала отвоевывать эту привилегию и спрашивать: что будет, если убрать ее и начать относиться к ним как к любым заурядным объектам, будь они объективно реальны или произвольно бессмысленны? И когда Гильберт начинает развивать теорию доказательств в 1920-х, он доводит эту идею до предела. То, что он предлагает, радикально. Он хочет лишить привилегий все привилегированные объекты и превратить их в бессмысленные значки на странице. На первый взгляд все это немного шокирует… математические игры, бессмысленные значки.

* * *

Вот что так поражает в подходе Гильберта. Математика не должна быть бессмысленной. Обычно ею занимаются как раз потому, что она имеет смысл. Всю историю человечества математика решала практические задачи. Геометрия в древнем мире была полезна везде: межевание, строительство, расчеты, измерения, навигация. У нас 60 минут в часе и 60 секунд в минуте, потому что у нас две руки, на каждой по пять пальцев, и у каждого пальца по три фаланги. Можно насчитать до 12 на одной руке, касаясь большим пальцем трех костяшек на каждом из четырех остальных пальцев. Загибая по пальцу на другой руке за каждый цикл, получаем 5 x 12 = 60 возможных чисел – и чрезвычайно полезный числовой язык жестов для торговли. Нынешнее деление часа на минуты и минуты на секунды – наследие того вавилонского изобретения.

И ладно бы кто другой, но Гильберт! Уж для него-то смысл в математике был священен – по крайней мере, так казалось. По сути, он был прикладным математиком почти всю свою профессиональную карьеру. Почему человек, который провел всю жизнь погрузившись в прикладной смысл, внезапно развернулся к такой чистой бессмысленности? И все же вот он, на склоне лет, лишает математику «какого бы то ни было значения», как напишут Нагель и Ньюмен в 1956 году.

Но смелость – союзник Гильберта. В 1920-х годах, начав разрабатывать теорию доказательств, он сталкивается с жестоким подъемом – тяжелее, чем путь из базового лагеря на вершину К2. Гильберт знает: чтобы аксиоматизировать математику и исправить ее дефектные основания, нужно, чтобы эти аксиомы были непротиворечивы. Поэтому ему нужно найти доказательство непротиворечивости. Вся его мотивация для создания теории доказательств в том и состоит – интроспективно изучить, чего математика может и чего не может достичь, по словам Грегори Хайтина. Это вершина Гильберта. Его пункт назначения. Его заявленная цель. Его путеводная звезда. Его экспедиция в духе «потому что она существует». Взойти на эту гору. Укрепить основания. И спасти Королеву Математику.

Легче сказать, чем сделать – и не только потому, что математика сложнее шахмат, но и потому, что, как скажет вам любой хороший альпинист, настоящая опасность ждет на спуске.

Tertium non datur

Создавая теорию доказательств, Гильберт делает ставку на принцип, известный как Tertium non datur («Третьего не дано»), или закон исключенного третьего. Это полезный инструмент для математических доказательств; по сути, он гласит, что для любого математического суждения существует лишь два возможных состояния. Истина или ложь. Включено или выключено. Да или нет. Идти или остаться. Никаких «если», «и» или «но». Черное или белое – и никогда серое.

Но это не совсем точно. Лучше сформулировать Tertium non datur так: «Истинно или неистинно». Такая формулировка точнее, потому что закон исключенного третьего – это не предложение «А или Б», он гласит, что у вас есть либо А, либо не-А. Никакого «отчасти А». Никакого «подобного А». Никакого «вроде А». Никакого «может быть, А».

Tertium non datur – чрезвычайно удобный инструмент для математического доказательства, поскольку он обладает огромным охватом. Он означает, что вы можете установить истинность суждения, показав, что оно не является ложным, – отрицание отрицания равносильно утверждению истины. Это значит, что вам не обязательно доказывать всё исчерпывающим перебором. Достаточно показать, что нечто истинно в одном случае или что противоположное неистинно, – часто путем демонстрации того, что иная возможность (A, или не-А) влечет за собой логическое противоречие.

Вспомним снова игру в шахматы. Кто выиграл последнюю партию? Черные или белые? Теория шахмат Цермело гласит, что при завершении игры либо побеждает одна из сторон, либо партия заканчивается вничью. Допустим, никто не знает, победили ли черные. Используя Tertium non datur, мы рассуждаем так: Выиграли белые? Нет. Была ничья? Нет. Значит, единственный возможный вывод – победили черные.

Это звучит болезненно упрощенно, но это логический подход к рассуждению, идущий еще из Древней Греции. (Аристотель сам первым сформулировал закон исключенного третьего.) Но лишь