Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

class="p1">Чтобы понять, как вообще вообразить большее, несчетное множество вещественных чисел, думайте не просто о каждом ведре с песком, но о каждой песчинке внутри него. Представьте ведра такими огромными, что внутри каждого – бесконечность песчинок. Теперь представьте, что вы собираете огромный массив данных о каждой песчинке. Подумайте о бесконечных вариациях рельефа на одной частице. Подумайте об уникальном расположении силикатных кристаллов, сросшихся внутри каждой песчинки. Представьте бесчисленные атомы, из которых состоят эти кристаллы. Рассмотрите все валентные состояния всех электронов в каждом атоме каждого кристалла. Подумайте о временных квантовых флуктуациях внутри каждой субатомной частицы – не просто в один момент времени, а от их звездного происхождения до гибели в тепловой смерти. Подумайте обо всех моментальных снимках каждого квантового состояния, каждого атома, в каждой молекуле, в каждом кристалле, в каждой песчинке, в каждом бесконечном ведре песка за все время – еще дальше в прошлое, чем способен заглянуть даже телескоп «Джеймс Уэбб».

А теперь представьте бесчисленный парад людей, предлагающих бесконечные индивидуальные взгляды на все эти отдельные песчинки, высказывающих суждения о каждом квантовом состоянии каждого атома в каждом кристалле песка. Подумайте о бесконечном числе различных квантовых вселенных, где слегка отличающиеся, но в целом те же самые люди в каждой вселенной имеют свои альтернативные мнения о каждой песчинке. Представьте галактику в одном зерне. Созерцайте бесконечную, постоянно эволюционирующую вселенную галактик-песчинок. Подумайте о вечности откровений в каждой отдельной крупице в каждую долю секунды существования. Это начинает подводить нас к разнице между большой и малой бесконечностью – бесконечное число ведер с песком против бесконечной вариативности внутри каждого отдельного ведра. Большая бесконечность намного больше. Но даже так мы еще не приблизились к определению континуума.

Нельзя надеяться картографировать, назвать, сосчитать, озвучить, иначе представить или даже полностью осмыслить каждый объект бытия в любой отдельный момент – не говоря уже обо всех тех же объектах от момента к моменту на протяжении жизни и далее, в будущем. Невозможно также постичь, даже в одно мгновение времени, бесконечное множество альтернативных квантовых реальностей, где каждый миг отличается лишь слегка, почти незаметно. В этом разница между перечислимыми и неперечислимыми, малыми и большими бесконечностями. Одна – это бесконечная череда ведер, а другая – безнадежная неспособность даже помыслить о том, что находится внутри одного из них.

* * *

Вейль и Брауэр встречаются несколько раз после окончания Первой мировой, и с каждой встречей дело становится все серьезнее. В 1919 году они проводят совместный отпуск, где Брауэр вводит Вейля в курс дела. Внимательный слушатель в лице Вейля оказывается весьма кстати. Как и его дар красноречия.

Слова Вейля прекрасны. Доступны. Вдохновляющи. И – какой бы тяжелой ни была их концептуальная нагрузка – убедительны. Это составляет разительный контраст с беспощадно сухим, техническим стилем Брауэра. Временами его слог тяжел. Временами – скучен. Непроницаем. Ситуацию не улучшает и то, что его идеи настолько новы, что кажутся странными.

Поэтому помощь Вейля неоценима. В первые дни Великой математической войны он помогает Брауэру вывести свои идеи на математическую сцену. В лице Вейля Брауэр обретает математика со звездной репутацией, готового бросить вызов статус-кво с той же решимостью, что и он сам. Они слеплены из одного теста почти во всем, кроме умения излагать мысли на бумаге. Брауэр может быть редким революционером в оригинальности мышления, но писатель он посредственный. Красноречие и золотое перо Вейля помогают Брауэру начать подлинное движение. Брауэр высекает искру. А Вейль раздувает пламя. Он – словно Троцкий при Ленине-Брауэре.

«Брауэр – человек, которого я люблю всем сердцем», – говорит Вейль коллеге в ноябре 1920 года, в самый разгар этой крепкой мужской дружбы.

Однако между ними есть один явный источник напряжения: их цели не совсем совпадают. «Вейль – осторожный ревизионист, который хотел найти безопасное ядро традиционной математики», – напишет десятилетия спустя современный историк и биограф Брауэра Дирк ван Дален. Другими словами, он стремится к наведению строгости и постепенным улучшениям, а не к полной замене. Контролируемое выжигание. Подрезать и обрубить ветви, а не срубить деревья и посадить новый лес. Он хочет найти порядок в хаосе, а не того, чего жаждет Брауэр: тотальной замены – полного сноса, а не реновации. Брауэр – ревизионист, готовый выплеснуть ребенка вместе с водой и сжечь все дотла, который, «подобно Самсону, хотел обрушить все здание математики, прежде чем возвести его вновь», – пишет ван Дален.

Рождение кризиса

Именно Вейль дает формальное имя развернувшейся борьбе, назвав ее «кризисом оснований» (Grundlagenkrise) в заголовке статьи, написанной в мае 1920 года, – «О новом кризисе оснований математики» (Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik). Закончив статью, он с упоением тут же отправляет ее Брауэру. «Ее следует рассматривать не как научную публикацию, – сообщает Вейль Брауэру в приложенном письме, – а как пропагандистский памфлет». Чтобы разбудить спящих!

В этой статье Вейль сравнивает парадоксы, возникшие в работах Кантора, Бурали-Форти, Рассела, Цермело и других двадцатью годами ранее, с малыми пограничными конфликтами, региональными распрями перед лицом мирового пожара. «Беспорядки в пограничных землях математики нужно расценивать как симптомы, в которых выходит на свет то, что скрыто в центре внешне блестящей и гладкой деятельности, – а именно внутренняя нестабильность оснований, на которых покоится все здание империи», – пишет он. Беда в Сараево – это беда Европы. А беда с логикой теории множеств – это беда математики.

Прибалтика не единственная военная или политическая метафора, которую он пускает в ход. Он также заявляет, что вся математика – это «бумажная экономика», где доказательства покупаются и продаются, не имея никакой реальной внутренней ценности. И заканчивает он с революционным пафосом. «Ибо этот порядок сам по себе не может сохраняться, в чем я убедил себя», – пишет Вейль. «И Брауэр, – заключает он, – это революция» (das ist die Revolution).

Брауэру это нравится. Он осыпает друга сердечными благодарностями. «Твое объяснение, как мне кажется, будет ясным и убедительным и для публики», – говорит он. А что касается «спящих, которым пора проснуться», упомянутых Вейлем, то Брауэр лишь смеется. Вейль просто переворачивает их с боку на бок, пока они дремлют в своих кроватях, говорит Брауэр. Скоро они повернутся обратно и продолжат спать.

Вейль не называет имя Гильберта в статье, но после ее публикации в 1921 году мало кто сомневается, на кого он намекает, говоря о «старом порядке». Это Гильберт.

Реакция Гильберта, когда он узнает обо всем этом, ужасна. Он начинает воспринимать интуиционизм Брауэра как экзистенциальную угрозу. Это учение разрушительно, поскольку требует отбросить слишком многое из современной математики, включая величайшие сокровища из математической сокровищницы, если их