Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

точка расхождения, где его мировоззрение глубоко отличается и резко отходит от взглядов Гильберта и почти всех остальных. Почему? Потому что это приводит Брауэра к выводу, что в математике существование никогда нельзя принимать как данность. Оно должно быть установлено «как естественная функция интеллекта, как свободная, живая деятельность мысли», – напишет несколько лет спустя выдающийся ученик Брауэра, голландский математик Аренд Гейтинг. «Для него математика – это порождение человеческого разума», – скажет Гейтинг о Брауэре.

По мнению Брауэра, основания математики должны быть чисто конструктивными – это процесс, в котором построение математических объектов и доказательств выступает как познавательная деятельность. Для него в математике важна не столько логическая непротиворечивость и формальные доказательства, сколько построение этих объектов с помощью разума. Он считает, что у людей есть естественная, изначальная, врожденная интуиция счета и натуральных чисел. Именно это, полагает он, должно быть основой математики, а не что-то основанное на испорченном языке или чистой логике.

Для Брауэра поиск нового математического доказательства подобен движению на ощупь по незнакомой местности в темноте. Здесь вы спотыкаетесь. Там ступаете на зыбкую почву. Находите место, где в грязи скрыта утонувшая доска, словно те грязные настилы в траншеях Западного фронта. Вы идете. Держитесь низко. Не имеете понятия, куда идти, но продолжаете двигаться. Смотрите, куда приведет вас путь. Шаг за шагом. С каждым хлюпающим звуком. Сквозь липкое месиво.

На темном поле битвы Первой мировой войны, пока вы знаете, где начали, как далеко прошли и какие повороты сделали, вы можете найти дорогу через грязь, шаг за шагом. Точно так же и в математике вы можете прокладывать путь через доказательство, используя лишь простую концепцию натуральных чисел, добавляя 1 к 2, к 3 и так далее.

Это радикальный подход к математике, и в некотором роде совершенно оригинальный. И все же, поскольку Брауэр заимствует идею Канта об интуитивном постижении и опоре на чувства, интуиционизм – это, пожалуй, целое движение, а не продукт одного человека. Это путешествие, начатое Пуанкаре, с щепоткой Канта и изрядной дозой Кронекера (с его принципом «Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих»). Именно Кронекер проложил путь, по которому следует Брауэр: он отказывал в существовании любому объекту под математическим солнцем, который нельзя построить явным образом.

Однако Брауэр – радикал, и он призывает переосмыслить математику в чисто конструктивном ключе. Это ведет к весьма спорному, даже экстремистскому мировоззрению, ведь отказ от всего, что нельзя построить, означает отказ от понятий счетного и несчетного, перечислимого и неперечислимого, малой и большой бесконечности. Для теории множеств это настоящий бич. Конструктивизм Брауэра также с неизбежностью отвергает использование закона исключенного третьего. Это язва современного математического доказательства, своего рода болезнь, что объясняет многое из того, о чем пойдет речь дальше. Коллегам не просто не нравятся идеи Брауэра. Они, и особенно Гильберт, чувствуют невероятную угрозу.

Поймите вот что: хотя многие видят в Брауэре некое второе пришествие Кронекера, он представляет собой нечто большее, чем простая «перезагрузка». Он больше похож на «Кронекера 2: Расплата» – та же бескомпромиссная конструктивная философия, но с куда большим количеством спецэффектов и взрывов. Представьте Кронекера с крутым арбалетом. Или с гаубицей. Или Кронекера, стреляющего из рук расплавленной лавой. Вот на кого похож Брауэр.

* * *

Так, на заре пробуждения Европы от долгого ужаса Первой мировой войны, тихо начинается Великая математическая война: Гильберт выбирает одно направление для укрепления оснований математики, а Брауэр идет другим путем. Стремление Брауэра отвергать все, что невозможно построить, вскоре приведет его к острому конфликту с Гильбертом. Никто еще этого не осознает, но Брауэр уже сделал первые выстрелы, насмешливо назвав подход Гильберта «формализмом», жестоко противопоставив его своему собственному, звучному, восходящему к Канту «интуиционизму» – своей главной надежде и амбиции.

На этом я пока закончу тему противостояния Брауэра и Гильберта, добавив лишь одно: это настоящая трагедия. Они были друзьями. Их отношения искрились взаимным восхищением и уважением. И у них был один последний, фундаментальный пункт согласия: они разделяли мировоззрение, отмеченное исключительной заботой о Королеве Математике – убеждение, что фундамент науки нуждается в починке. Но эта общая почва ушла из-под ног из-за их глубоко различных подходов. Это были два математика, разделенные общим делом.

Великая математическая война начинается не совсем в 1918 году. Ее истоки можно проследить до 1900 или 1883 года, как сделал я, – или еще раньше. Но по-настоящему линии фронта прочерчиваются лишь в 1920-х. В годы перед войной вопрос об основаниях был поставлен на паузу, пока Рассел и Уайтхед трудились, пытаясь заполнить зияющую дыру в математике с помощью логики. Они выпустили невероятно сложные трехтомные «Основания математики» – этот триумф логицизма. Но их работа лишь забинтовала рану. Во время войны эта болячка покрылась коростой, когда международный обмен идеями со скрежетом остановился. Машины. Монстры. Западный фронт. Но после перемирия бинт срывают, и споры об основаниях математики вспыхивают как никогда прежде.

Das Kontinuum

Вернемся ненадолго к парадоксам. Парадоксы теории множеств стали главной причиной желания укрепить основания математики. Для Рассела и Фреге на рубеже веков – и для Гильберта в 1920-х – парадоксы вскрывали некую поверхностную проблему, пусть и серьезную. Их наличие указывало на то, что что-то не так с нашей формулировкой логики или языком математики, но не говорило о фундаментальном изъяне в самой математике или логике. Все они видели в этих парадоксах подобие прыщей на лице математики-подростка – зрелище неприятное, но временное. И их легко выдавить, какой бы болезненной ни была процедура.

Но Брауэр считает парадоксы чем-то, что оставляет куда более глубокие шрамы: это не просто пятнышко, а обвинительный акт самому фундаменту классической математики. Они показывают, что математика, какой мы ее знаем, далека от совершенства, как скажет голландско-американский математик Эрнст Снэппер в 1979 году. Единственное решение, которое видит Брауэр, – это снести математику, взломать фундамент, заменить арматуру, перезалить бетон и отстроить все заново, используя его пошаговый интуиционизм и конструктивистский подход «математика как умственная деятельность».

* * *

Взгляды Брауэра сильно расходятся с позицией Гильберта, но главная пропасть лежит еще глубже. Брауэр отвергает ключевой аспект мировоззрения Гильберта: идею о том, что любая проблема в математике разрешима – либо нахождением ответа, либо доказательством невозможности решения. Гильберт годами придерживался этой идеи, которую я называю «безудержной верой в решения». «Если вы можете сформулировать задачу, вы можете ее решить», – утверждал он в своем знаменитом докладе 1900 года в Париже.

Но Брауэр считает, что для такого предположения нет оснований. По его мнению, любые доказательства и любые математические объекты должны быть построены. Все, что можно сконструировать, пусть даже концептуально, – валидно. Все, что нельзя, – ну… этого не существует!