Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

подход к самой математике. Брауэр согласен, но настроен гораздо агрессивнее: логика – это не ответ. Всю попытку Рассела построить основания математики на базе логики он считает бессмысленной. Для него логика строится на математике, а не наоборот. Попытка подвести под математику логический фундамент, говорит Брауэр, – это «непродуктивное, бесплодное упражнение».

Во-вторых, Брауэр и Гильберт сходятся во мнении о несостоятельности человеческого языка. На самом деле Рассел, Уайтхед и Фреге тоже с этим бы согласились. Обыденный язык не способен однозначно передать математическую строгость. Фреге и разработал свое «исчисление понятий» именно потому, что не доверял обычному языку.

Гильберт и Брауэр видят смысл в том, чтобы относиться к языку с подозрением, но оба идут еще дальше. Для Брауэра язык – не просто то, чего стоит опасаться. Он рассматривает этот вопрос в эволюционном и антропологическом ключе, полагая, что математика появилась раньше языка. Он полагает, что у нас не было бы языка, если бы не было математики. Сами акты речи, жестикуляции и слушания опираются на нашу интуитивную способность различать абстрактный смысл, привязанный к возгласу, знаку или пантомиме.

* * *

Для Гильберта это не столько вопрос о курице и яйце, сколько сфокусированная практическая задача: что делать с обычным языком в математике? В этом они с Брауэром согласны. Оба хотят убрать язык из уравнения – хотя и пойдут к этому совершенно разными путями.

Идея Гильберта, как я уже говорил, заключается в создании идеального искусственного языка для дедукции. Он хочет полностью отсечь обыденный язык, срезать все лишнее до самой кости и оставить математику в виде того, что он называет «бессмысленными значками на бумаге». Другими словами, отодвинуть язык в сторону. Отделить символы математики от их значения. Так вы сможете устанавливать и применять правила, не замутненные смыслом. И пусть аксиоматика и правила станут вашим вторым пилотом.

Хотя Брауэр согласен с частью этого, в конечном счете он считает подход Гильберта ошибкой именно из-за того, что Гильберт считает его сильной стороной: языка. Гильберт полагает, что он отделяет математику от языка своим подходом «бессмысленных значков на странице», но для Брауэра символический язык – это все равно просто язык. Он считает, что невозможно построить математический язык, свободный от противоречий, потому что в своей основе символический язык всегда будет человеческим языком. «Мы все так же далеки от цели», – напишет он позже. Брауэр изобрел термин «формализм» и ввел его в обиход как язвительную насмешку, мелкую шпильку, чтобы обесценить подход Гильберта.

Одни имена мы берем себе сами. Другие нам дают из любви или уважения, как титул, сохраняемый после выхода на пенсию: Тренер, Полковник, Посол, Господин Президент. Иные же имена призваны уколоть – они даются либо в шутку, либо из гнева, ненависти, презрения или осуждения. «Формализм» относится к последним. Брауэр считает это чопорным ярлыком для негибкого подхода и еще более негибкого упрямства.

С другой стороны, свой собственный подход, «интуиционизм», он любит. Это имя он выбирает сам, заимствуя термин из более ранней философии. Оно «подчеркивает существование чистой математики, независимой от языка», пишет он.

Это возвращает нас к его почти антропологической точке зрения. Брауэр рассматривает математику как примитивную человеческую способность – нечто укорененное в нашем индивидуальном сознании и наложенное на человеческий род длинной рукой эволюции. Чистейшим выражением этого служит его попытка очистить математику до ее самых примитивных основ. Математика – это не какая-то формальная вещь, которую мы строим для описания мира, а часть нашей сущности, нашего существования – то самое, что делает нас людьми.

Cogito, ergo sum

Идея конструктивной математики как врожденной человеческой способности не целиком принадлежит Брауэру. Философы возводят ее истоки к французскому математику XVII века Рене Декарту, который отвергал привычные культурные и религиозные ссылки на авторитет и настаивал, что рациональный человеческий разум постигает непосредственность своего окружения и оттуда интуитивно черпает знание. Это основа его знаменитой фразы Cogito, ergo sum («Мыслю, следовательно, существую»), которая удивительным образом спустя 400 лет не противоречит современной нейронауке.

Брауэр соглашается с Декартом в том, что он видит математику по сути как способ восприятия мира – но в смысле первичной человеческой способности, в противовес более формальному, приобретенному человеческому способу, как это видит Гильберт. Но Брауэр идет дальше, чем Декарт или кто-либо другой до него.

Брауэр также выходит за рамки очень известной старой формы интуиционизма, разработанной философом Иммануилом Кантом столетием ранее. Кант был гением во всем, кроме одной наивной ошибки: он считал время и пространство абсолютными. Его идея о том, что мы интуитивно постигаем пространство и время через «непосредственное осознание» наших чувств, абсолютно верна, согласно современным взглядам на познание. Но его подвела концепция абсолютного пространства и времени. К 1920-м годам люди активно отвергали абсолютность времени и пространства, какой бы истинной она ни казалась чувствам. Взлет Эйнштейна к мировой славе был полностью основан на доказательстве искривления света, подтверждающем, что время и пространство не абсолютны, а относительны. Время замедляется. Длина сокращается. Пространство растягивается. Гравитация порождает пугающие странности. И теория относительности Эйнштейна строго нарушает пространственно-временную абсолютность по всем статьям. К 1920-м годам наука ушла от Канта дальше, чем кто-либо мог себе представить.

Грядет и другое, еще более фундаментальное изменение в мировоззрении человечества. Астрономы с помощью все более мощных телескопов вскоре получат из глубин космоса данные о том, что Вселенная совсем не такова, какой мы считали ее с начала времен. Она не фиксированная и бесконечная, а конечная и расширяющаяся. Это немедленно приводит к выводу, что Вселенная не пребывает в стационарном состоянии без начала и конца, а имеет свою сюжетную линию. Происхождение. Начало. Рождение в Большом взрыве. Нашу текущую середину. И когда-нибудь – конец. Какой еще Кант?

Даешь старую добрую «интуицию»

Старомодные взгляды Канта на интуиционизм становятся «сопутствующим ущербом» на фоне релятивистской революции Эйнштейна и появления теории Большого взрыва. «Старая форма, – говорит Брауэр об интуиционизме Канта в 1920-х, – от которой ныне почти полностью отказались». Он утверждает, что все предшествующее было на самом деле вовсе не интуиционизмом, а чем-то иным. Предынтуиционизмом. Неоинтуиционизмом. Полуинтуиционизмом. (Квазиинтуиционизмом?)

Называйте как хотите, но дух Канта в идеях Брауэра виден отчетливо. После войны Брауэр вернулся к основам, вдохновленным Кантом, которые он заложил еще 12 лет назад в своей странной книге «Жизнь, искусство и мистика». Подобно Канту, он считал, что единственный путь к истинному знанию лежит через индивидуальное сознание и взаимодействие с внешним миром посредством чувств и разума. Мы «интуитивно постигаем» смысл окружающего мира – отсюда и термин «интуиционизм».

Это, кстати, не просто единственный, самый фундаментальный аспект веры Брауэра – это главная